German Title: Adaptive Methoden für PDE-basierte Optimalsteuerung mit punktweisen Ungleichnungsrestriktionen

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Abstract

This work is devoted to the development of efficient numerical methods for a certain class of PDE-based optimization problems. The optimization is constraint by an elliptic PDE. In addition to prior work in this context pointwise inequality constraints on the control and state variable are considered. These problems are infinite dimensional and their solution can in general not be obtained exactly. Instead the solution of such problems means to find an approximate solution. This is done by (approximately) solving for some set of first order necessary optimality conditions. Hence an efficient algorithm has to find such an approximate solution with as little effort as possible while still being accurate enough for whatever the goal of the computation is. The work at hand contributes to this goal by deriving a posteriori error estimates with respect to a given functional. These estimates are required for two purposes, first, to generate efficient meshes for the solution of the PDEs required in the process of solving the necessary conditions. Second, to choose several parameters that occur in order to regularize the problems at hand in such a way that the regularization error is both small enough, to obtain a good result', and yet large enough to have easy to solve' problems. These a posteriori estimators are supplemented with a priori estimates in several cases where non have been available in the literature for the problem class under consideration. Finally, all theory and all heuristics will be substantiated with several numerical examples of different complexity.

Translation of abstract (German)

Ziel der Arbeit ist es effiziente numerische Verfahren zur Lösung von PDE basierten Optimierungsproblemen zu entwickeln. Hierbei betrachten wir als Nebenbedingung eine elliptische PDE sowie im Unterschied zu früheren Arbeiten zusätzliche (Ungleichungs-) Beschränkungen an die Kontroll- und Zustandsvariablen. Es handelt sich bei diesen Problemen um unendlich-dimensionale Optimierungsprobleme, so dass die Lösung im Allgemeinen nicht exakt bestimmt werden kann. Stattdessen wird eine Approximation bestimmt. Diese erhält man durch die (approximative) Lösung geeigneter Systeme notwendiger Optimalitätsbedingungen. Ein effizienter Algorithmus hat die Aufgabe, eine solche approximative Lösung mit so wenig Aufwand wie möglich und dennoch hinreichend genau zu bestimmen. Die vorliegende Arbeit leistet hierzu einen Beitrag indem a posteriori Fehlerschätzer, bezüglich eines gegebenen Funktionals, hergeleitet werden. Diese werden aus zwei Gründen benötigt. Zum Einen, um sparsame Gitter für die Lösung der auftretenden PDEs zu erzeugen. Zum Anderen, um diverse Parameter zur Regularisierung des Problems derart zu steuern, dass einerseits der Regularisierungsfehler ,,klein genug'' ist und andererseits die Probleme noch immer ,,einfach zu lösen'' sind. Ferner werden die a posteriori Schätzer durch a priori Fehleranalysen ergänzt sofern solche für die betrachtete Problemklasse noch nicht in der Literatur verfügbar waren. Schließlich werden die theoretischen Resultate und die verwendeten Heuristiken durch mehrere Beispiele unterschiedlicher Komplexität untermauert.