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Non parametric estimation in the presence of noise with unknown distribution

Schwarz, Maik

German Title: Nichtparametrische Schätzung in Gegenwart von Meßfehlern unbekannter Verteilung

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Abstract

This thesis is concerned with the development of estimation techniques in four models involving statistical inverse problems with noise in the operator. Firstly, we consider a density deconvolution model on the real line: a probability density is to be estimated from observations which are subject to an independent additive measurement error. Assuming that the error is centered and normally distributed with unknown variance, we develop an intuitive time-domain condition on the target density which allows for its identification and consistent estimation by means of a minimum distance estimator. Next, we consider a stochastic frontier model. Our aim consists in estimating the support boundary of a two dimensional probability distribution based on observations with independent additive and normally distributed noise in one dimension. Exploiting the deconvolution techniques from the first chapter, we develop a consistent two step procedure for the non parametric estimation of the frontier, using in particular the m-frontier technique. In the following chapter, we look at the special density deconvolution model where the densities are supported on the circle instead of the real line. We drop the normality hypothesis for the error distribution. Instead, we assume that in addition to the sample of contaminated observations, a sample drawn from the error distribution is available. Minimax theory in both sample sizes is developed and a fully data-driven estimator is defined and shown to be minimax optimal over a wide range of density classes. Finally, we consider a regression model with instrumental variables. The minimax rates for the non parametric estimation of the structural function are developed and shown to be attained by an adaptive estimator in certain cases.

Translation of abstract (German)

In der vorliegenden Dissertation werden Schätzverfahren in vier Modellen entwickelt, in denen sich statistische inverse Probleme mit unbekanntem Operator stellen. Zunächst betrachten wir das Problem der Dichteentfaltung auf der reellen Achse. In diesem Modell soll eine Wahrscheinlichkeitsdichte basierend auf Beobachtungen geschätzt werden, die mit einem unabhängigen additiven Meßfehler behaftet sind. Unter der Annahme, der Fehler sei ferner zentriert und normalverteilt mit unbekannter Varianz, definieren wir eine anschaulich interpretierbare Bedingung an die gesuchte Dichte, welche es uns ermöglicht, die Dichte zu identifizieren und mittels eines Minimum-Kontrast-Verfahrens konsistent zu schätzen. Als nächstes untersuchen wir ein stochastisches Frontier-Modell. Unser Ziel ist es, die Schranke des Trägers einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schätzen, und zwar aufgrund von Beobachtungen, die in einer Dimension einen Meßfehler aufweisen. Unter Zuhilfenahme der im ersten Kapitel dargestellten Techniken entwickeln wir ein auf dem m-frontier-Schätzer basierendes Plug-in-Verfahren, mit dem die Schranke des Trägers konsistent nichtparametrisch geschätzt werden kann. Im folgenden Kapitel geht es wieder um ein Faltungsmodell. In diesem Fall betrachten wir jedoch Dichten, deren Träger der Kreis und nicht die reelle Achse ist. In diesem Zusammenhang lassen wir die Normalitätsannahme an die Verteilung des Fehlers fallen und nehmen stattdessen an, daß eine unabhängige Stichprobe von dieser Verteilung vorliegt. Wir entwickeln eine Minimaxtheorie in beiden Stichprobengrößen sowie einen vollständig adaptiven Schätzer, der für viele Dichteklassen minimax-optimal ist. Schließlich betrachten wir ein Regressionsmodell mit Instrumentalvariablen. Zunächst leiten wir die Minimaxraten für die nichtparametrische Schätzung der Regressionsfunktion her und konstruieren dann einen adaptiven Schätzer, der diese Raten in bestimmten Fällen erreicht.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Dahlhaus, Prof. Dr. Rainer
Date of thesis defense: 1 July 2011
Date Deposited: 10 Aug 2011 13:13
Date: 2011
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Inverses Problem, Entfaltung <Mathematik>, Nichtparametrische Regression, Frontier-Funktion, Adaptive Schätzung, Nichtparametrische Schätzung
Uncontrolled Keywords: Inverse problem , deconvolution , nonparametric regression , frontier function , adaptive mimimax estimation
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