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Contraction-based Separation and Lifting for Solving the Max-Cut Problem

Bonato, Thorsten

German Title: Kontraktionsbasierte Separierung und Liftung zur Lösung des Max-Cut-Problems

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Abstract

The max-cut problem is an NP-hard combinatorial optimization problem defined on undirected weighted graphs. It consists in finding a subset of the graph's nodes such that the aggregate weight of the edges between the subset and its complement is maximized. In this doctoral thesis we present a new separation approach to be used within a branch-and-cut algorithm for solving max-cut problems to optimality. This method is based on graph contraction and allows the fast separation of so-called odd-cycle inequalities. In addition, we describe techniques to add possibly missing edges to an already contracted graph. This allows solving max-cut problems on sparse graphs by using methods that were originally intended for complete graphs and could not have been applied otherwise. We investigate the theoretical aspects of this combined approach and also explain its realization within a branch-and-cut framework. Finally, we evaluate the performance of our separation procedure on a variety of test instances.

Translation of abstract (German)

Das Max-Cut-Problem ist ein auf ungerichteten gewichteten Graphen definiertes NP-schweres kombinatorisches Optimierungsproblem. Es besteht darin, eine Teilmenge der Knoten des Graphen zu bestimmen, so dass das summierte Gewicht der Kanten zwischen der Teilmenge und ihrem Komplement maximiert wird. In der vorliegenden Arbeit stellen wir einen neuen Separierungsansatz vor, der im Rahmen eines Branch-and-Cut-Algorithmus verwendet werden kann, um Max-Cut-Probleme optimal zu lösen. Die Methode basiert auf der Kontraktion des Graphen und erlaubt die effiziente Separierung sogenannter Ungerader-Kreis-Ungleichungen. Darüber hinaus beschreiben wir Techniken, um im bereits kontrahierten Graphen gegebenenfalls fehlende Kanten hinzuzufügen. Dies ermöglicht es, Max-Cut-Probleme auf dünn besetzten Graphen unter Verwendung von Methoden für vollständige Graphen zu lösen, die ansonsten nicht anwendbar gewesen wären. Wir untersuchen die theoretischen Aspekte dieses kombinierten Ansatzes und erläutern seine Umsetzung innerhalb eines Branch-and-Cut-Systems. Abschließend bewerten wir die Leistungsfähigkeit unserer Separierungsroutine anhand einer Vielzahl unterschiedlicher Testinstanzen.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Reinelt, Prof. Dr. Gerhard
Date of thesis defense: 14. June 2011
Date Deposited: 25. Jul 2011 13:45
Date: 2011
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Computer Science
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Kombinatorische Optimierung, Maximaler-Schnitt-Problem, Konvexes Polytop, Branch-and-Cut-Methode
Uncontrolled Keywords: Max-Cut-Problem , Cut-Polytop , SeparierungCombinatorial optimization , Max-Cut problem , Cut polytope , Separation , Branch-and-Cut method
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