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Singuläre Modulformen und involutive Algebren

Mitsos, Markos

German Title: -

English Title: Singular Modular Forms and involutive Algebras

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PDF, German
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Abstract

In dieser Dissertation wird die Theorie der Siegelschen Modulformen, insbesondere die von E. Freitag in den LNM 1487 (Singular Modular Forms and Theta Relations) gewonnenen Resultate verallgemeinert. Ausgangspunkt der Arbeit ist eine endlich-dimensionale Algebra über den rationalen Zahlen, ausgestattet mit einer positiven Involution. Diese Algebren sind bekannt und von Mumford klassifiziert; mittels Tensorierung mit den reellen Zahlen kann man ein Tubengebiet konstruieren, also eine verallgemeinerte obere Halbebene. In solchen Algebren zeichnet man eine maximale Ordnung als 'ganz' aus. Man erhält eine Verallgemeinerung der Modulgruppe, als Untergruppe der symplektischen Gruppe, die ihrerseits auf die verallgemeinerte obere Halbebene wirkt, und kann den Begriff der (vektorwertigen) Modulform definieren. Dieser umfasst z.B. die bekannten Fälle der Siegelschen, Hermitschen und Hilbert-Siegelschen Modulformen. Es werden verallgemeinerte Theta-Reihen, mit Hilfe von Gittern, eingeführt und deren Konvergenz auf der oberen Halbebene gezeigt. Die Untersuchung des Transformationsverhaltens dieser Reihen unter der symplektischen Gruppe, ergibt Bedingungen, unter welchen sie (singuläre) Modulformen darstellen. Es wird die Theorie der singulären Modulformen, über die Fourier-Jacobi-Entwicklung, verallgemeinert, und eine Verallgemeinerung der fundamentalen Beziehung zwischen singulären Gewichten und der Singularität (von Modulformen) hergestellt. Ferner wird ein Raum von Fourier-Reihen eingeführt (der große singuläre Raum), der bestimmte Theta-Reihen enthält. Die Erzeugung dieses Raumes durch Theta-Reihen wird, mit Hilfe sogenannter Kernformen und Lokalisierungstechniken, auf ein endliches kombinatorisches Lemma zurückgeführt. Dessen Beweis liefert dann als Hauptresultat der Dissertation die (endliche) Erzeugung des Raumes der singulären Modulformen zu einer Hauptkongruenzgruppe durch spezielle Theta-Reihen.

Translation of abstract (English)

In my thesis I generalised the theory of Siegel modular forms, and in particular the results of E. Freitag (compare his LNM 1487 'Singular Modular Forms and Theta Relations'). The starting point is a (finite dimensional) algebra with positive involution. These algebras were studied and classified by Mumford; using his results, one sees that, with the help of tensoring with the real numbers, a tube domain (e.g. a generalised upper half-plane) can be constructed. In such an algebra we fix a maximal order as 'integral', and obtain a generalised modular group as a subgroup of the symplectic group. The later acts on the (generalised) upper half-plane, and with its help we introduce (vector-valued) modular forms. The definition includes the well-known cases of Siegel, Hermitian and Hilbert-Siegel modular forms. After that we use lattices to define generalised theta series and show that they converge in the upper half-plane. The study of the transformation properties of such series under the symplectic group gives conditions under which they are actually (singular) modular forms. The theory of singular modular forms is generalised with the help of the so-called Fourier-Jacobi expansion, and the fundamental relation between singular weights and the singularity of a modular form is proven in this general setting. This done, a finite dimensional vector space of Fourier series, the so-called big modular space, is definied; it includes certain theta series. The problem of the generation of this space by the later series is reduced, using the idea of kernel forms and localisation, to a finite combinatorical lemma. The proof of the later gives as the main result of the thesis the (finite) generation of the space of modular forms with respect to a main congruence subgroup through special theta series.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Freitag, Prof. Dr. Eberhardt
Date of thesis defense: 30 May 2001
Date Deposited: 07 Jun 2001 00:00
Date: 2001
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Algebra mit Involution, Singuläre holomorphe Form, Maximalordnung, Gitter <Mathematik>, Theta-Reihe
Uncontrolled Keywords: Transformationsformalismus (Thetareihen) , Fourier-Jacobi-Entwicklung , singulärer Raum , Kernformen , nicht-kommutative lokale HauptidealringeAlgebras with positive Involution , Maximal Orders , Theta Series , Singular Modular Forms , non-commutative lokal P.I.D.
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