German Title: Kataklysmus-Deformationen für Anosov-Darstellungen

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Abstract

In this thesis, we construct special deformations for Anosov representations, so-called cataclysms, and investigate their properties. In Teichmüller theory, cataclysms and the closely related shearing coordinates carry information about the structure of Teichmüller space. Therefore, the question arises if cataclysms also exist in higher Teichmüller spaces or more generally for Anosov representations. We construct cataclysms for θ-Anosov representations into a semisimple non-compact connected real Lie group G, where θ ⊂ Δ is a subset of the simple roots that is invariant under the opposition involution. Important steps in our construction of cataclysm deformations are the definition of the appropriate parameter space as well as the definition of slithering maps in the context of θ-Anosov representations. These maps generalize slithering maps for Hitchin representations which were defined by Bonahon and Dreyer in their parametrization of the Hitchin component. We then construct stretching maps, shearing maps and finally cataclysms. Cataclysms have some natural properties: They are additive and behave well with respect to composing an Anosov representation with a Lie group homomorphism. Moreover, we show how the cataclysm deformation of an Anosov representation affects the associated boundary map. In Teichmüller space, cataclysm deformations are injective. However, this does not hold true for θ-Anosov representations in general. We give sufficient conditions for injectivity as well as for non-injectivity of the deformation. For certain classes of reducible representations, we explicitly determine the subspace of the parameter space on which the deformation is trivial. These representations include a family of Borel Anosov representations into SL(2n+1,R), by which we show that cataclysms of Borel Anosov representations are not necessarily injective.

Translation of abstract (German)

Diese Dissertation behandelt die Konstruktion spezieller Deformationen von Anosov-Darstellungen, sogenannter Kataklysmen, und untersucht ihre Eigenschaften. Kataklysmen und die eng verwandten Scherkoordinaten spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Teichmüllerräumen. Daher stellt sich die Frage, ob Kataklysmen auch in höheren Teichmüllerräumen oder allgemeiner für Anosov-Darstellungen existieren. Wir konstruieren Kataklysmen für θ-Anosov-Darstellungen in eine halbeinfache nicht-kompakte zusammenhängende reelle Liegruppe G. Hierbei ist θ eine Teilmenge der einfachen Wurzeln Δ, die invariant unter der Oppositionsinvolution ist. Ein wichtiger Schritt in unserer Konstruktion von Kataklysmen ist die Definition des passenden Parameterraumes. Des Weiteren definieren wir Gleitabbildungen für θ-Anosov-Darstellungen. Diese verallgemeinern entsprechende Abbildungen für Hitchin-Darstellungen in PSL(n,R), die von Bonahon und Dreyer im Rahmen der Parametrisierung der Hitchin-Komponente definiert wurden. Wir definieren außerdem Scherabbildungen und schließlich Kataklysmen. Im Anschluss zeigen wir einige Eigenschaften von Kataklysmen: Sie sind additiv und verhalten sich natürlich unter der Verknüpfung von Anosov-Darstellungen mit Liegruppenhomomorphismen. Außerdem beschreiben wir, wie ein Kataklysmus die zu einer Anosov-Darstellung gehörige Randabbildung verändert. Kataklysmen im Teichmüllerraum sind injektiv. Für allgemeine θ-Anosov-Darstellungen gilt dies nicht. Wir geben eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Kataklysmus injektiv ist, sowie hinreichende Bedingungen für das Gegenteil. Für bestimmte Klassen von reduziblen Darstellungen bestimmen wir explizit den Unterraum des Parameterraums, für den der Kataklysmus trivial ist. Diese Darstellungen beinhalten eine Familie von Borel-Anosov-Darstellungen in SL(2n+1,R), womit wir zeigen, dass Kataklysmen für Borel-Anosov-Darstellungen im Allgemeinen nicht injektiv sind.