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Adaptive Space-Time Finite Element Methods for Optimization Problems Governed by Nonlinear Parabolic Systems

Meidner, Dominik

German Title: Adaptive Orts-Zeit-Finite-Elemente-Methoden für Optimierungsprobleme mit Beschränkungen durch nichtlineare parabolische Systeme

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Abstract

Subject of this work is the development of concepts for the efficient numerical solution of optimization problems governed by parabolic partial differential equations. Optimization problems of this type arise for instance from the optimal control of physical processes and from the identification of unknown parameters in mathematical models describing such processes. For their numerical treatment, these generically infinite-dimensional optimal control and parameter estimation problems have to be discretized by finite-dimensional approximations. This discretization process causes errors which have to be taken into account to obtain reliable numerical results. Focal point of the thesis at hand is the assessment of these discretization errors by a priori and especially a posteriori error analyses. Thereby, we consider Galerkin finite element discretizations of the state and the control variable in space and time. For the a priori analysis, we concentrate on the case of linear-quadratic optimal control problems. In this configuration, we prove error estimates of optimal order with respect to all involved discretization parameters. The a posteriori error estimation techniques are developed for a general class of nonlinear optimization problems. They provide separated and evaluable estimates for the errors caused by the different parts of the discretization and yield refinement indicators, which can be used for the automatic choice of suitable discrete spaces. The usage of adaptive refinement techniques within a strategy for balancing the several error contributions leads to efficient discretizations for the continuous problems. The presented results and developed concepts are substantiated by various numerical examples including large scale optimization problems motivated by concrete applications from engineering and chemistry.

Translation of abstract (German)

Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung von Konzepten für das effiziente numerische Lösen von Optimierungsproblemen mit Beschränkungen durch parabolische partielle Differentialgleichungen. Probleme dieser Art entstehen beispielsweise bei der optimalen Steuerung physikalischer Prozesse sowie bei der Identifizierung unbekannter Parameter in mathematischen Modellen zur Beschreibung solcher Prozesse. Für ihre numerische Behandlung ist es notwendig, diese generisch unendlich-dimensionalen Probleme der optimalen Steuerung und Parameterschätzung mittels endlich-dimensionaler Approximationen zu diskretisieren. Dieser Diskretisierungsprozess verursacht Fehler, die berücksichtigt werden müssen, um verlässliche numerische Ergebnisse zu erhalten. Schwerpunkt der vorliegenden Dissertation ist die Abschätzung dieser Diskretisierungsfehler mit Hilfe von a priori und insbesondere a posteriori Fehleranalysen. Dabei betrachten wir Finite-Elemente-Diskretisierungen der Zustands- und Kontrollvariablen in Ort und Zeit. Bei der a priori Analyse konzentrieren wir uns auf den Fall linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme. Hierfür zeigen wir Fehlerabschätzungen von optimaler Ordnung bezüglich aller beteiligten Diskretisierungsparameter. Die Techniken zur a posteriori Fehlerschätzung werden für eine allgemeine Klasse nichtlinearer Optimierungsprobleme entwickelt. Sie liefern separierte und auswertbare Schätzungen der durch die verschiedenen Teile der Diskretisierung verursachten Fehler und stellen Verfeinerungsindikatoren für die automatische Wahl der geeigneten diskreten Räume bereit. Die Verwendung von adaptiven Verfeinerungstechniken innerhalb von Strategien zur Balancierung der einzelnen Fehlerbeiträge führt zu effizienten Diskretisierungen der kontinuierlichen Probleme. Die präsentierten Ergebnisse und entwickelten Konzepte werden durch verschiedene numerische Tests bestätigt. Im Rahmen dieser Tests werden auch Optimierungsprobleme betrachtet, die durch konkrete Anwendungen aus den Ingenieurwissenschaften und der Chemie motiviert sind.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Rannacher, Prof. Dr. Rolf
Date of thesis defense: 3 March 2008
Date Deposited: 06 Mar 2008 10:44
Date: 2007
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Finite-Elemente-Methode, Galerkin-Methode, A-priori-Abschätzung, A-posteriori-Abschätzung, Adaptives Verfahren, Optimale Kontrolle
Uncontrolled Keywords: Finite-Elemente-Diskretisierung in Ort und Zeit , A-priori Fehleranalyse , A-posteriori Fehlerschätzung und AdaptivitätSpace-time finite element discretization , A priori error analysis , A posteriori error estimation and adaptivity
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