Der Abelsche Fundamentalsatz der Integralrechnung bezüglich eines algebraisch darstellbaren Abelschen Integrales als rationale Funktion des Integranden wird auf lineare Differentialgleichungen ausgedehnt. Außerdem werden für die Elemente der Integralrechnung weitere Folgerungen aus dem Abelschen Satze hergeleitet für den Fall, daß der Integrand die Lösung einer algebraisch auflösbaren Gleichung ist.
Bei der Erklärung einer Reihe wichtiger Begriffe pflegt man sich in der Differentialgeometrie auf die Umgebung eines Punktes zu beschränken, wobei geometrische Bedeutung und analytische Darstellung einander vollständig decken. Die Übereinstimmung kann jedoch aufhören, wenn man über die Umgebung hinausgeht, und man muß daher zwischen geometrischer und analytischer Fortsetzung unterscheiden. Die Vernachlässigung dieses Umstandes hat, wie an Beispielen nachgewiesen wird, zu Fehlschlüssen und scheinbaren Widersprüchen geführt, die noch keine hinreichende Aufklärung gefunden hatten.