Nach Aufstellung der für ein kinetisches Potential beliebiger Ordnung geltenden Hamiltonschen Differentialgleichungen werden die bekannten Abelschen Fundamentalsätze der Integralrechnung über die Ausdrückbarkeit eines Abelschen Integrales durch algebraische und logarithmische Funktionen sowie durch elliptische Integrale als Eigenschaften von Integralfunktionen der einfachsten Differentialgleichung erster Ordnung aufgefaßt, und die Untersuchung der Form der allgemeinsten Integralfunktionen der Hamiltonschen Differentialgleichungen wird für den Fall durchgeführt, daß das kinetische Potential die Zeit nicht explicite enthält und die Integralfunktion algebraisch von den Variabeln und beliebigen Abelschen Integralen abhängt.
Es wird für beliebige algebraische Differentialgleichungssysteme die Frage untersucht, von welcher Form eine algebraische Beziehung zwischen algebraischen oder transzendenten Integralfunktionen sein muß, und das gewonnene Resultat auf homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten angewendet.
Bei den allgemeinen Untersuchungen, die bis jetzt über das Prinzip des kleinsten Zwanges angestellt worden sind, werden die Voraussetzungen, die man über das betrachtete mechanische System, macht oder machen muß, nirgends genau angegeben. Hieraus erklärt es sich, daß gewisse Sätze, die ohne Beschränkungen ausgesprochen werden, in besonderen Fällen versagen. Der Zweck der vorliegenden, zugleich kritischen und aufbauenden Abhandlung ist es, für die Anwendungen des Gaußschen Prinzips eine sichere Grundlage zu schaffen.
In der vorliegenden Ergänzung der Abhandlung IV über die Hamiltonschen Differentialgleichungen der Dynamik werden die in dieser gewonnenen Resultate über die Natur der mit der unabhängigen Variabeln verschwindenden Integralsysteme zunächst in etwas veränderter Form zusammengestellt und sodann auf Grund dieser die Frage behandelt, ob und inwieweit man sich über die Eindeutigkeit und Vieldeutigkeit der Integrale in einem gegebenen Falle orientieren kann, ohne die in der Untersuchung zugrundegelegte Determinantengleichung aufzulösen.