German Title: Über ein minimales Modell für den Beginn der Bewegung einer Zelle

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Abstract

Actin-driven motility of eucaryotic cells plays a crucial role in many biological processes and has therefore been under intense experimental and theoretical investigation throughout several decades. In [10], we introduced a minimal model for the preparation of movement in a symmetric resting cell on a flat substrate. This system consists of at least four hyperbolic conservation laws describing the evolution of densities of actin filament tips and at least one parabolic equation for the actin monomer concentration. For this coupled hyperbolic-parabolic system, we shall now formulate a free boundary problem to allow for actual motion of the cell. For this model with some specific boundary conditions, we will show short time well posedness and present several mechanisms by which the solutions might break down for large times. In particular, possible blow-up phenomena are described and investigated, both analytically and numerically. Moreover, we discuss how the cease of existence of solutions can be interpreted physically as the emergence of actin polymerization fronts. Finally, different possible boundary conditions are presented, and their biological meanings are explained. We furthermore reformulate the model under certain assumptions and derive a system of two parabolic equations describing the motion of two interacting species of filaments moving in opposite directions. This simplified model is investigated in part II where we ask for stability of particular steady states and construct traveling wave solutions. The existence of the latter can also be found in simulations, and we will discuss the type and velocity of the evolving wave profiles. Particular attention will be paid to the remarkable differences between different types of nonlinearities describing the mutual interaction. Of special interest are the deviations from the predictions about stability and the traveling wave solutions obtained from the linearization of the model around its equilibria. These predictions are met quite well by some versions of the nonlinear terms whereas for others they are missed significantly. We are thus dealing with a quite minimalistic system of reaction advection diffusion equations whose behavior cannot be predicted by linearization but strongly depends on the particular nonlinearity.

Translation of abstract (English)

Aufgrund der großen Bedeutung für eine Vielzahl biologischer Prozesse ist die aktingetriebene Bewegung eukaryotischer Zellen seit mehreren Jahrzehnten Gegenstand intensiver experimenteller und theoretischer Forschung. Unter anderem wurde in [10] ein minimales Modell für die Polarisation des Aktinzytoskeletts einer symmetrischen, ruhenden Zelle auf einer ebenen Fläche vorgestellt, die sich auf einen äußeren Anstoß hin darauf vorbereitet, sich in Bewegung zu setzen. Dieses System besteht aus mindestens vier hyperbolischen Erhaltungsgleichungen für die Dichten der Enden von Aktinfilamenten und mindestens einer parabolischen Gleichung für die Konzentration der Aktinmonomere. Für dieses gekoppelte hyperbolisch-parabolische System wollen wir nun ein Problem mit freiem Rand herleiten, um der Zelle tatsächliche Bewegung zu erlauben. Für dieses Problem mit einer spezischen Form der Randbedingungen soll zunächst die Wohlgestelltheit für kurze Zeiten gezeigt werden. Des weiteren werden wir einige Mechanismen beleuchten, die zum Zusammenbruch der Lösungen für große Zeiten führen können, wobei insbesondere die analytische und numerische Untersuchung von räumlich beschränkten Explosionen dieser Lösungen in den Blick genommen wird. Ferner werden wir erklären, wie der Kollaps der Lösungen als Ausbildung von Polymerisationsfronten physikalisch zu verstehen ist. Schließlich werden wir noch weitere Randbedingungen vorstellen und deren biologische Interpretation beleuchten. Außerdem werden wir das gegebene Modell unter gewissen Annahmen zu einem System aus zwei parabolischen Gleichungen reduzieren. Diese beschreiben die Bewegung zweier sich in entgegengesetzter Richtung bewegender und miteinander interagierender Sorten von Filamenten. Dieses reduzierte Modell soll in Teil II hinsichtlich der Stabilität bestimmter stationärer Zustände und des Auftretens wandernder Wellenfronten analysiert werden. Letztere werden auch in Simulationen beobachtet, und wir werden sowohl Form als auch die Geschwindigkeiten der auftretenden Wellen untersuchen. Spezielles Augenmerk wird auf den Einfluss des nichtlinearen Interaktionsterms auf das Stabilitätsverhalten sowie auf die Art und Geschwindigkeit der wandernden Wellen zu legen sein. Von besonderem Interesse sind die Abweichungen für bestimmte Nichtlinearitäten von den Vorhersagen, die sich aus der Linearisierung des Systems an seinen Gleichgewichtspunkten ergeben. Für gewisse Formen des nichtlinearen Terms stimmt das beobachtete Verhalten der Lösungen mit diesen Vorhersagen sehr gut überein, während sich für andere Formen deutliche Unterschiede zeigen. Wir haben es also mit einem minimalistischen System von Reaktions-Advektions-Diffusionsgleichungen zu tun, deren Verhalten nicht ohne weiteres durch die Linearisierung vorhergesagt werden kann, sondern vielmehr stark von der speziellen Gestalt der Nichtlinearität abhängt.