German Title: Software Alignierung der LHCb Inner Tracker Sensoren

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Abstract

This work uses the Millepede linear alignment method, which is essentially a $chi^2$ minimization algorithm, to determine simultaneously between 76 and 476 alignment parameters and several million track parameters. For the case of non-linear alignment models, Millepede is embedded in a Newton-Raphson iterative procedure. If needed a more robust approach is provided by adding quasi-Newton steps which minimize the approximate $chi^2$ model function. The alignment apparatus is applied to locally align the LHCb's Inner Tracker sensors in an a priori fixed system of coordinate. An analytic measurement model was derived as function of track parameters and alignment parameters, for the two cases: null and non-null magnetic field. The alignment problem is equivalent to solving a linear system of equations, and usually a matrix inversion is required. In general, as consequence of global degrees of freedom or poorly constrained modes, the alignment matrix is singular or near-singular. The global degrees of freedom are obtained: directly from $chi^2$ function invariant transformations, and in parallel by an alignment matrix diagonalization followed by an extraction of the least constrained modes. The procedure allows to properly define the local alignment of the Inner Tracker. Using Monte Carlo data, the outlined procedure reconstructs the position of the IT sensors within micrometer precision or better. For rotations equivalent precision was obtained.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit verwendet die lineare Millepede-Alignierungsmethode, die im Wesentlichen ein $chi^2$ Minimierung Algorithmus ist, um gleichzeitig zwischen 76 und 476 Parameter und mehrere Millionen Spurparameter zu bestimmen. Für den Fall der nicht-linearen Alignierungsmodelle ist Millepede eingefügt in eine iterative Newton-Raphson-Methode. Falls erforderlich wird alternativ eine robustere Methode verwendet, die zusätzliche quasi-Newton-schnitte hinzufügt. Der Alignierungsprozedur wird für die lokale Alignierung von LHCb Inner Tracker Sensoren in einem "a priori" festgelegten Koordinatensystem verwendet. Ein analytischea Mess-Modell wurde abgeleitet als Funktion von Spur- und Alignierungsparameter für beide Fälle: mit und ohne Magnetfeld. Die Alignierungsprobleme sind äquivalent zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen, was normalerweise eine Matrixinversion erfordert. Im allgemeinen, als Folge der globalen Freiheitsgrade oder schlecht festgelegter Freiheitsgrade, ist die Alignierungsmatrix singulär oder fast singulär. Die globalen Freiheitsgrade werden direkt von invarianten Transformationen der $chi^2$-Funktion und simultan durch eine Diagonalisierung der Alignierungsmatrix, gefolgt von einer Extraktion der am wenigsten eingeschränkt Modi, bestimmt. Diese Methode erlaubt eine richtige Definition der lokalen Alignierung für den Inner Tracker. Die beschriebene Methode erlaubt für Monte-Carlo Daten die Bestimmung der Position der IT-Sensoren mit Mikrometer-Genauigkeit oder besser. Für Drehungen werden ähnliche Genauigkeiten erreicht.