German Title: Klassische und quantenmechanische Dynamik von getriebenen elliptischen Billiards

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Abstract

Subject of this thesis is the investigation of the classical dynamics of the driven elliptical billiard and the development of a numerical method allowing the propagation of arbitrary initial states in the quantum version of the system. In the classical case, we demonstrate that there is Fermi acceleration in the driven billiard. The corresponding transport process in momentum space shows a surprising crossover from sub- to normal diffusion. This crossover is not parameter induced, but rather occurs dynamically in the evolution of the ensemble. The four-dimensional phase space is analyzed in depth, especially how its composition changes in different velocity regimes. We will show that the stickiness properties, which eventually determine the diffusion, are intimately connected with this change of the composition of the phase space with respect to velocity. In the course of the evolution, the accelerating ensemble thus explores regions of varying stickiness, leading to the mentioned crossover in the diffusion. In the quantum case, a series of transformations tailored to the elliptical billiard is applied to circumvent the time-dependent Dirichlet boundary conditions. By means of an expansion ansatz, this eventually yields a large system of coupled ordinary differential equations, which can be solved by standard techniques.

Translation of abstract (German)

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung der klassischen Dynamik von getriebenen ellipitschen Billiards, sowie die Entwicklung einer numerischen Methode, welche die Propagation von beliebigen Anfangszuständen im entsprechenden quantenmechanischen System ermöglicht. Wir zeigen, dass im klassischen Billiard Fermi Beschleunigung existiert. Im Impulsraum zeigt der dazugehörige Transportprozess einen Übergang von sub- zu normaler Diffusion. Dieser Übergang wird nicht durch die Änderung eines externen Parameters hervorgerufen, sondern passiert dynamisch während der Zeitentwicklung eines Ensembles von Teilchen. Eine detaillierte Analyse des vierdimensionalen Phasenraums zeigt, dass dieser sich in verschiedenen Geschwindigkeitsbereichen unterschiedlich zusammensetzt. Eng verknüpft damit ist die sogenannte stickiness'', welche letztendlich den Diffusionsprozess prägt. Da das Ensemble mit der Zeit beschleunigt wird, erkundet es nach und nach verschiedene Teile des Phasenraums mit dementsprechend unterschiedlichen stickiness'' Eigenschaften. Dies führt zu dem erwähnten Diffusionsübergang. Für das quantenmechanische Billiard wenden wir eine auf die Ellipse maßgeschneiderte Serie von Transformationen an. Dadurch umgehen wir die ansonsten schwierig zu behandelnden zeitabhängigen Randbedingungen. Mit Hilfe eines Entwicklungsansatzes erhalten wir so ein System von gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche mit Standardverfahren gelöst werden können.