German Title: Biochemische und Mechanische Prozesse von synovialen Fluiden: Modellierung, mathematische Analysis und Computersimulationen

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Abstract

Synovial fluid is a polymeric liquid which generally behaves as a viscoelastic fluid due to the presence of polysaccharide molecules called hyaluronan. In this thesis, we study the biological and biochemical properties of synovial fluid, its complex rheology and interaction with synovial membrane during filtration process. From the mathematical point of view, we model the synovial fluid as a viscous incompressible fluid for which we develop a novel generalized power-law fluid model wherein the power-law exponent depends on the concentration of the hyaluronan. Such a model is adequate to describe the flows of synovial fluid as long as it is not subjected to instantaneous stimuli. Moreover, we try to find a suitable linear viscoelastic model which can describe the viscoelastic responses of synovial fluid during small deformation experiments, as, again, a function of concentration. Then, we consider the governing equations, namely the constraint of incompressibility, the balance of linear momentum - generalized Navier-Stokes equations and the convection--diffusion equation for the concentration of hyaluronan. The part of mathematical analysis is focused on the formulation of the stationary problem in the weak sense and the proof of the existence of the corresponding weak solution, for the case of a generalized viscous problem with concentration dependent power-law exponent. For that, we use the method of monotone operators, where the essential role plays the proof of Hölder continuity of the concentration. In the numerical part of the thesis, we consider different numerical stabilization methods which ensure better numerical solvability of the system with dominant convection, as is typical for synovial fluid flow. By their implementation into already existing code, we numerically solve for the flow of the synovial fluid in a rectangular cavity, in order to gain some insight into the response of such a fluid so that we can solve in the future the flows in more realistic geometries. We also compare the solutions obtained with different models of generalized viscosities and different stabilization techniques. As last, we propose a mathematical model for flow and transport processes of diluted solutions, and afterwards of synovial fluid, in domains separated by a leaky semipermeable membrane. We formulate transmission conditions for the flow and the solute concentration across the membrane which take into account the property of the membrane to partly reject the solute, the accumulation of rejected solute at the membrane, and the influence of the solute concentration on the volume flow, known as the osmotic effect.

Translation of abstract (German)

Ein synoviales Fluid ist eine polymerische Flüssigkeit, die sich im Allgemeinen wie eine viskoelastische Flüssigkeit verhält. Dieses Verhalten ist auf die Wirkung enthaltender Polysaccharide, sogenannte Hyaluronen, zurückzuführen. In dieser Arbeit werden biologische und biochemische Eigenschaften von synovialen Flüssigkeiten untersucht, sowie deren komplexe Rheologie und die Interaktion mit synovialen Membranen bei Filterprozessen. Vom mathematischen Standpunkt aus modellieren wir das synoviale Fluid als ein viskoses, inkompressibles Fluid, für welches wir ein neues Potenzgesetz-Modell entwickeln, wobei der Exponent im Potenzgesetz von der Konzentration der Hyaluronen abhängt. Ein solches Modell ist dazu geeignet, um ein synoviales Fluid zu beschreiben, solange es zu keinen plötzlichen Impulsen kommt. Des Weiteren beschreiben wir geeignete lineare viskoelastische Modelle, welche das viskoelastische Verhalten der synovialen Fluide bei kleinen Deformationen als eine Funktion der Konzentration beschreiben. In weiterer Folge werden die zugehörigen Modellgleichungen betrachtet, und zwar die Inkompressibilitätsbedingung, das Momentengleichgewicht - die verallgemeinerten Navier-Stokes Gleichungen und die Konvektionsdiffusionsgleichung für die Konzentration des Hyaluron. Das Kapitel zur mathematischen Analysis konzentriert sich im Wesentlichen auf die Formulierung des stationären Problems im schwachen Sinne und den Beweis der Existenz einer zugehörigen schwachen Lösung für den Fall einer verallgemeinerten Viskosität mit einer vom Potenzgesetzexponenten abhängenden Konzentration. Dazu verwenden wir die Methode der monotonen Operatoren, wobei der Beweis der Hölder-Stetigkeit der Konzentration den Hauptteil darstellt. Im Kapitel zur Numerik werden verschiedene stabilisierte Finite Elemente Methoden für Probleme mit dominierender Konvektion betrachtet, welche typisch für synoviale Fluide sind. Numerische Beispiele werden für rechteckige Gebiete präsentiert, um eine Einsicht in das Verhalten des Fluids zu bekommen und um es zukünftig in realistischeren Gebieten lösen zu können. Des Weiteren werden die Lösungen der verschiedenen Viskositätsmodelle für die einzelnen stabilisierten Finite Elemente Methoden miteinander verglichen. Im letzten Kapitel wird ein mathematisches Modell für die Strömung und den Transport einer verdünnten Lösung betrachtet, welches anschließend auf das synoviale Fluid übertragen wird. Dabei sind die Gebiete durch eine semipermeable Membran getrennt. Wir formulieren Transmissionsbedingungen für die Strömung und die Konzentration der Lösung auf der Membran. Dabei kommt es zu einem teilweisen Rückgang der Konzentration, welcher auf die Eigenschaften der Membran zurückzuführen ist. Die Ablagerung der Lösung an der Membran und der Einfluss der Konzentration der Lösung auf die Strömung ist als osmotischer Effekt bekannt.