German Title: Faserweises Abschneiden von Homologie

Preview

PDF, English Download (836kB) | Terms of use

Abstract

Banagl defines a spatial version of intersection homology. A key step is fiberwise homology truncation of the link bundle of a pseudomanifold. The difficulty of extending said results to more general link bundles is informed by two factors: firstly, the type of fiber (which is also the link of the pseudomanifold), and secondly, the base space of the bundle (which is the singular set of the pseudomanifold). We extend the methods of Banagl to link bundles of two types: (1) Fibers CW-complexes with (amongst other conditions) evenly graded homology and base space a sphere. (2) Using a fiber admitting truncation only in selected degrees and base space such that the bundle is glued from two trivial bundles. Different methods are required in each setting. In the first setting, truncation of the fiberwise gluing homeomorphisms yields only homotopy equivalences. Hence homotopy theory is necessary to build a truncated bundle with the right properties. In the second case, this difficulty is not encountered, and no homotopy theory is necessary. Here, we use sheaf theory. In both cases we require the link bundle to be glued from trivial bundles by means of cellular homeomorphisms. Generalized Poincaré duality is shown for pseudomanifolds with each type of link bundle.

Translation of abstract (German)

Banagl definiert eine räumliche Version der Schnitthomologie. Ein wichtiger Baustein ist das Faserweise Abschneiden der Homologie eines Linkbündels einer Pseudomannigfaltigkeit. Zwei Faktoren bestimmen den Schwierigkeitsgrad einer Verallgemeinerung dieser Technik: zum einen die Form der Faser (die der Link der Pseudomannigfaltigkeit ist) und zum anderen die Art der Basis des Bündels (welche gleichzeitig die singuläre Menge der Pseudomannigfaltigkeit ist). Die Methoden von Banagl werden in dieser Arbeit für zwei Typen von Linkbündeln erweitert: (1) Bündel mit Fasern CW-Komplexe mit u. a. verschwindender Homologie in ungeraden Graden und Basis eine Sphäre. (2) Für Fasern, die das Abschneiden der Homologie nur in bestimmten Graden zulassen, und einem Bündel, welches aus zwei trivialen Bündeln verklebt wird. Verschiedene Methoden sind in beiden Fällen angebracht. Im ersten Fall ergibt eine Anwendung des Abschneidefunktors auf die Verklebungshomöomorphismen nur Homotopieäquivalenzen. Daher ist es notwendig, Homotopietheorie einzusetzen um ein abgeschnittenes Bündel mit den gewünschten Eigenschaften zu konstruieren. Im zweiten Fall treten diese Probleme nicht auf, und es wird keine Homotopietheorie benötigt. Stattdessen wird Garbentheorie verwendet. In beiden Fällen ist es notwendig, zu fordern dass die Linkbündel mittels zellulärer Homöomorphismen aus trivialen Bündeln verklebt werden. Verallgemeinerte Poincaré Dualität wird für Pseudomannigfaltigkeiten mit beider Art Linkbündel gezeigt.