German Title: Oscillationen einer Flüssigkeit in einem Kanal

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Abstract

In this work we investigate the motion of a viscous, incompressible fluid contained in an uncovered three-dimensional rectangular channel. The upper surface changes with the motion of the fluid, so we deal with a free boundary problem. We consider small perturbations of a uniform flow with a flat free surface. We include the effect of the surface tension; the external forces are gravity, and the wind force which acts on the free boundary. The motion of the fluid in the channel is governed by the Navier-Stokes equations. We consider the system to be periodic in the direction of the length of the channel. Technically, we identify the inflow boundary with the outflow boundary of the channel and then we consider the second spatial variable belonging to the circle $S^1$. In order to obtain a well-posed model, we have to prescribe the value of the dynamic contact angle between the walls and the free boundary and we choose it to be $\frac{\pi}{2}$. As boundary conditions, we consider that the walls are impenetrable together with a perfect slip condition, and a no slip condition for the bottom. The main aim of this paper is to analyse the qualitative behavior of the flow (oscillations of periodic solutions) using tools of bifurcation theory. In order to do this we need fundamental facts of existence and regularity of solutions, spectral analysis of the linear system connected with the free boundary value problem taking into account the underlying symmetries, and techniques of equivariant Hopf bifurcation theorem.

Translation of abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit wird die Bewegung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit, die in einem offenen, senkrechten, 3-dimensionalen Kanal enthalten ist, untersucht. Die Oberfläche verändert sich mit der Bewegung der Flüssigkeit, demzufolge handelt es sich hier um ein freies Randwertproblem. Wir betrachten kleine Störungen eines Äquilibriumszustandes mit einer glatten freien Oberfläche. Der Einfluss der Oberflächenspannung wird ebenfalls in Betracht gezogen; die äusseren Kräfte sind die Schwerkraft und die Windkraft die auf die freie Oberfläche wirkt. Die Bewegung der Flüssigkeit im Kanal wird von den Navier-Stokes Gleichungen beschrieben. Wir nehmen an, dass das System periodisch entlang der Kanallänge ist. Wir setzen den Einflussrand des Kanals mit dem Ausflussrand gleich und betrachten dann die zweite Raumvariable als zum Kreis $S^1$ gehörend. Um ein wohlgestelltes Problem zu erhalten müssen wir den Wert des dynamischen Kontaktwinkels zwischen den Wänden und dem freien Rand vorgeben; wir haben ihn gleich $\pi/2$ genommen. Als Randbedingungen wurden Folgende betrachtet: undurchlässige Wände zusammen mit der perfekten Gleitbedingung, und die Haftbedingung für den unteren Rand. Das Hauptziel dieser Arbeit ist es das qualitative Verhalten der Strömung (Schwingungen der periodischen Lösungen) anhand der Verzweigungstheorie zu untersuchen. Um dies tun zu können benötigen wir Grundergebnisse der Existenz- und Regularitätstheorie, Spektralanalysis des linearen Systems gekoppelt mit dem freien Randwertproblem, wobei die Symmetrie in Betracht gezogen wird, sowie die Technik des äquivarianten Hopf-Verzweigungssatzes.