German Title: Dyson-Schwinger-Gleichungen für die Langevin-Dynamik in Bödekers effektiver Theorie

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Abstract

The dynamics of weakly coupled, non-abelian gauge fields at high temperature is non-perturbative if the characteristic momentum scale is of order |k| \sim g^2 T. Such a situation is typical for the processes of electroweak baryon number violation in the early Universe. Bödeker has derived an effective theory that describes the dynamics of the soft field modes to leading logarithmic order by means of a Langevin equation. This effective theory has been used for lattice calculations so far. In this work we provide a complementary, more analytic approach based on Dyson-Schwinger equations. Using methods known from stochastic quantisation, we recast Bödeker's Langevin equation in the form of a field theoretic path integral. We argue that a physically reasonable truncation of the Dyson-Schwinger equations requires the introduction of gauge ghosts, which in general is not mandatory in stochastic quantisation. This leads to a BRST symmetric formulation and to corresponding Ward-Takahashi identities. A second BRST symmetry reflecting the origin in a stochastic differential equation has to be sacrificed to establish the gauge BRST symmetry. The (stochastic) Ward identities can still be obtained by referring to the underlying structure and are shown to produce a cancellation among several terms of the gauge Ward identity. To clarify some issues, we derive the Feynman rules and perform some perturbative calculations. Finally, we deduce the Dyson-Schwinger equations and suggest a truncation scheme that approximately respects the gauge and stochastic Ward identities.

Translation of abstract (German)

Trotz schwacher Kopplung wird in nicht-abelschen Eichtheorien bei hoher Temperatur die Dynamik der Felder nicht-perturbativ, wenn die beteiligten Impulse von der Größenordnung |k| \sim g^2 T sind. Solche Verhältnisse sind typisch für die Prozesse der elektroschwachen Verletzung der Baryonenzahl im frühen Universum. Bödeker gelang die Ableitung einer effektiven Theorie, die die Dynamik der Feldmoden mit kleinen Impulsen durch eine Langevin-Gleichung beschreibt. Diese effektive Theorie wurde bislang für Gitterrechnungen verwendet. In der vorliegenden Arbeit stellen wir einen komplementären, analytischeren Zugang über Dyson-Schwinger-Gleichungen vor. Bödekers Langevin-Gleichung wird hierzu mithilfe von Methoden, die aus der stochastischen Quantisierung bekannt sind, in ein Pfadintegral umgeschrieben. Wir argumentieren, daß die spätere Trunkierung der Dyson-Schwinger-Gleichungen die Einführung von Eichgeistern notwendig macht, die in stochastischer Quantisierung normalerweise nicht auftreten. Dies führt auf eine BRST symmetrische Formulierung und zugehörige Ward-Takahashi-Identitäten. Eine zweite BRST Symmetrie, die den Ursprung der Theorie in einer stochastischen Differentialgleichung widerspiegelt, wird durch die Einführung der Eichgeister zerstört. Dennoch lassen sich die zugehörigen (stochastischen) Ward--Identitäten aus der fundamentalen Struktur der Theorie ableiten und bewirken eine Kürzung verschiedener Terme der Eich-Ward-Identität. Zur Klärung einiger spezieller Fragen leiten wir die Feynman-Regeln der Theorie ab und führen einige perturbative Rechnungen aus. Schließlich leiten wir die Dyson-Schwinger-Gleichungen ab und schlagen eine mögliche Trunkierung vor, die zumindest approximativ die stochastischen und Eich-Ward-Identitäten respektiert.