German Title: Nichtlineare Pseudoparabolische Gleichungen und Variationsungleichungen

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Abstract

The aim of this thesis is to prove existence and uniqueness of weak solutions for some types of quasilinear and nonlinear pseudoparabolic equations and for some types of quasilinear and nonlinear variational inequalities. The pseudoparabolic equations are characterized by the presence of mixed third order derivatives. Here the existence theory for degenerate parabolic equations is extended to the pseudoprabolic case, and degenerate pseudoparabolic equations with nonlinear integral operator are treated. Furthermore, quasilinear equations, posed on time intervals of the form (-\infty,T], are considered. Some nonlinear pseudoparabolic equations are obtained as reduced form of systems of equations. To show existence, the Galerkin and Rothe methods are used. The system of the degenerate equations is solved using the monotonicity and gradient assumptions on the nonlinear function. The discretization along characteristics is applied to equations with convection. The existence of solutions of variational inequalities is proved by a penalty method; here an inequality is replaced by an equation with an added penalty operator. The uniqueness follows from the monotonicity of the differential operators. In the case of nonlinear pseudoparabolic equations, the uniqueness can be shown for regular solutions only. The needed regularity is shown for two dimensional domains.

Translation of abstract (German)

Thema dieser Arbeit sind sowohl quasilineare und nichtlineare pseudoparabolische Gleichungen als auch solche Variationsungleichungen. Pseudoparabolische Gleichungen sind durch Auftreten von gemischten Ableitungen von dritter Ordnung charakterisiert. Für einige Typen solcher Gleichungen bzw. Ungleichungen wird in dieser Arbeit die Lösbarkeit gezeigt. In fast allen Fällen kann auch die Eindeutigkeit bewiesen werden. Die Existenztheorie für entartete parabolische Gleichungen wird auf den Fall pseudoparabolischer Gleichungen erweitert. Entartete Gleichungen mit nichtlinearen Integraloperatoren werden ebenfalls behandelt. Außerdem werden quasilineare Gleichungen für Zeitintervalle der Form (-\infty, T] betrachtet. Einige nichtlineare pseudoparabolische Gleichungen erhält man durch Reduktion von Systemen. Für den Beweis der Existenz werden die Rothe- und Galerkin-Methoden benutzt. Die Existenz von Lösungen des Systems entarteter Gleichungen ist unter Annahme der Monotonie und der Rotationsfreiheit der nichtlineare Funktion gezeigt; genauer, die nichtlineare Funktion ist ein Gradient. Die Gleichungen mit Konvektion werden hier entlang der Charakteristiken diskretisiert. Die Existenz von Lösungen für Variationsungleichungen ist mit Hilfe der Strafterm-Methode gezeigt. Die Eindeutigkeit der Lösung folgt aus der Monotonie der Operatoren. Die Eindeutigkeit der Lösung der nichtlinearen Gleichungen ist nur für reguläre Lösungen bewiesen, wobei schwache Lösungen in zwei Dimension schon diese Regularität besitzen.