English Title: On the automorphism groups of topological, countable state Markov shifts

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Abstract

Wir untersuchen die algebraischen Eigenschaften der Automorphismengruppen topologischer Markovshifts mit abzaehlbar unendlichem Zustandsraum zusammen mit der von diesen Gruppen induzierten Dynamik auf dem Shiftraum, den periodischen Punkten, der kanonischen sowie der 1-Punkt-Kompaktifizierung und dem kanonischen Rand. Wir geben eine vollstaendige Antwort auf die Frage nach der Kardinalitaet der Automorphismengruppe fuer lokalkompakte und nicht lokalkompakte Markovshifts mit abzaehlbar unendlicher Zustandsmenge, beleuchten die immense Untergruppenstruktur und beweisen ein Analogon zu Ryan's Theorem fuer den nicht kompakten Fall. Weiterhin geben wir eine Charakterisierung der 1-Punkt-Kompaktifizierungen lokalkompakter Markovshifts, deren Automorphismengruppen abzaehlbar sind, mit topologisch-dynamischen Begriffen. Anschliessend wird der Unterschied zwischen sliding-Block-Automorphismen und Automorphismen, die keine beschraenkte Kodierlaenge haben, herausgearbeitet. Zu jeder Darstellung eines nicht kompakten Markovshifts definiert man die darstellungsabhaengige Untergruppe der Automorphismen mit beschraenkter Kodierlaenge. Diese bilden eine partiell geordnete Hierarchie innerhalb der Automorphismengruppe, deren Eigenschaften wir naeher untersuchen. Einzig die Potenzen der Shiftabbildung sind in allen (Graphen-)Darstellungen kodierlaengenbeschraenkt. Wir geben eine Klasse lokalkompakter Markovshifts mit abzaehlbar unendlicher Zustandsmenge an, die ueberabzaehlbar viele Automorphismen endlicher Ordnung aufweisen, die in keiner Graphendarstellung beschraenkte Kodierlaenge haben. Tatsaechlich lassen sich zu all diesen Automorphismen spezielle Nicht-Graphendarstellungen angeben, in denen sie zu sliding-Block-Codes werden, da jeder Automorphismus endlicher Ordnung zu einem 1-Block-Code umcodierbar ist. Wir zeigen, dass die Automorphismengruppen einer speziellen Klasse lokalkompakter Markovshifts isomorph zur direkten Summe einer zentrumslosen Gruppe und der von der Shiftabbildung erzeugten zyklischen Gruppe sind. Wir definieren die kanonische-Rand-Darstellung der Automorphismengruppe und studieren deren Bild. Abschliessend weisen wir nach, dass die Pfadstruktur bei $\infty$ eine neue Konjugationsinvariante fuer lokalkompakte Markovshifts liefert und bestimmen deren Einfluss auf das Bild der kanonischen-Rand-Darstellung und die Fortsetzbarkeit von Automorphismen eines Teilsystems auf den gesamten Markovshift.

Translation of abstract (English)

We study the algebraic properties of the automorphism groups of topological countable state Markov shifts together with the dynamics of these groups on the shiftspace itself as well as on related spaces like periodic points, compactifications and the canonical boundary. We present a complete solution to the cardinality-question for (non) locally-compact countable state Markov shifts, shed some light on its huge subgroup structure and prove the analogue of Ryan's theorem in the non compact setting. Moreover we characterize the 1-point-compactifications of locally-compact countable state Markov shifts, whose automorphism groups are countable. The difference between sliding-block-automorphisms and automorphisms that do not have a bounded coding-length is investigated. For every presentation of a non compact Markov shift, there is a distinct subgroup of sliding-block-automorphisms. These subgroups form a partially ordered hierarchy within the automorphism group. We examine part of their properties. Every automorphism that is not a power of the shift map has unbounded coding-length in a special graph-presentation. We exhibit a class of locally-compact countable state Markov shifts that have uncountably many finite order automorphisms that cannot have bounded coding-length in any graph-presentation, but do have this property in some non-graph-presentation. Moreover we prove that every finite order automorphism can be recoded to a 1-block-code in some non-graph-presentation. We show that there is also a class of locally-compact Markov shifts with automorphism groups isomorphic to a direct sum of a centerless group and the cyclic group generated by the shift map. We define the canonical-boundary-representation of the automorphism group and study its range. Finally we prove that the path-structure at infinity yields a new conjugacy invariant for locally-compact Markov shifts and determine its influence on the range of the canonical-boundary-representation and the extendability of automorphisms from subsystems to the entire Markov shift.