German Title: Modellierung, Analyse und Simulation der Thrombose und Hämostase

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Abstract

This thesis investigates the influences of shear stress, saturation-dependent changes in surface reactivity, and thrombus growth on platelet deposition to reactive materials, which is of paramount interest in bioengineering and clinical practice. For this purpose, two mathematical models based on the Navier-Stokes equations and on particle conservation are developed. The first model is formulated on a fixed domain (“FD-model”) and describes the initial phase of platelet adhesion, whereas the second one is a free boundary problem capturing long-term thrombus growth. Several vessel geometries are considered: Stagnation point flow, tubular expansion, and t-junction. Model parameters are optimized to fit the data and their so obtained values are justified on the basis of experimental observations. The FD-model does not match the experimental data at all, when platelet adhesion is assumed independent of shear stress. In contrast, when adhesion is assumed shear-dependent, at least qualitative agreement is achieved. Solely by consideration of both shear stress and saturation-dependent changes in surface reactivity, good quantitative agreement of FD-model and data is obtainable. Such changes in surface reactivity are taken into account by coupling platelet flux conditions to ordinary differential equations (ODEs) for the evolution of surface-bound platelets. The free boundary problem is simulated by the level set method. Like the FD-model, it shows good qualitative agreement with the experimental evidence when shear stress is taken into account, whereas negligence of shear leads to completely false predictions. Regarding mathematical well-posedness of the FD-model, existence of weak solutions is shown for generalized parabolic systems having ODE-coupled flux conditions. Uniqueness and positivity of solutions are also investigated. Regarding the free boundary problem, a detailed proof of classical solvability in terms of Hölder spaces is presented.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit untersucht die Einflüsse von Scherkräften, sättigungsbedingten Änderungen der Oberflächenreaktivität und die Auswirkungen des Thrombenwachstums auf die Adhäsion von Blutplättchen an reaktiven Materialien, was von großem Interesse in Biotechnik und klinischer Praxis ist. Zu diesem Zweck werden zwei mathematische Modelle basierend auf den Navier-Stokes Gleichungen und der Teilchenerhaltung entwickelt. Das erste Modell beschreibt die Anfangsphase der Plättchenadhäsion und nimmt daher ein festes Gebiet an („FD-Modell“), wohingegen das zweite ein freies Randwertproblem zur Beschreibung des längerfristigen Thrombenwachstums darstellt. Es werden mehrere Gefäßgeometrien betrachtet: Staupunkt, Gefäßerweiterung und T-Kreuzung. Die Modellparameter werden anhand der experimentellen Daten gefittet und ihre so erhaltenen Werte mit experimentellen Beobachtungen gerechtfertigt. Beim FD-Modell stellt sich bei Annahme scherkraftunabhängiger Plättchenadhäsion keine Übereinstimmung mit den experimentellen Daten ein. Bei scherkraftabhängiger Adhäsion wird immerhin qualitative Übereinstimmung erzielt. Gute quantitative Übereinstimmung mit den Daten zeigt das FD-Modell dagegen nur bei gleichzeitiger Berücksichtigung von Scherkräften und sättigungsbedingten Änderungen der Oberflächenreaktivität. Letzteres wird über eine Kopplung des Plättchenflusses mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen für die zeitliche Entwicklung der Konzentration gebundener Plättchen realisiert. Das freie Randwertproblem wird mit Hilfe der Level Set Methode numerisch simuliert. Ebenso wie das FD-Modell zeigt es bei Berücksichtigung der Scherkräfte gute qualitative Übereinstimmung mit dem Experiment, wohingegen die Vernachlässigung der Scherkräfte zu völlig falschen Voraussagen führt. Zur Sicherstellung der mathematischen Wohlgestelltheit des FD-Modells wird die Existenz schwacher Lösungen für allgemeinere parabolische Systeme, die solch gekoppelten Randbedingungen unterworfen sind, gezeigt. Darüberhinaus wird die Eindeutigkeit und Positivität der Lösung untersucht. Für das freie Randwertproblem wird dessen klassische Lösbarkeit in Hölderräumen umfassend bewiesen.