German Title: Eine Twist Vermutung in der nicht-kommutativen Iwasawa Theorie

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Abstract

In this thesis we study three conjectures of K. Kato. The first one concerns p-adic Lie extensions F/Q with Galois group G containing the cyclotomic Z_p-extension Q_cyc and the existence of an element L_p,u in K_1(Z_p[[G]]_S) depending on a global unit u. L_p,u is required to map to a specified element under the connecting homomorphism from K-theory and to satisfy a prescribed interpolation property. We state an analogous conjecture for imaginary quadratic number felds K and, under a torsion assumption, prove it for certain abelian CM elliptic curve cases. The second conjecture is Kato's local main conjecture for p-adic Lie extensions L/Q_p with Galois group G' containing Q_p,cyc and concerns the existence of an element E_p,u' in K_1(Z_p^ur[[G']]_S') depending on a global unit u. E_p,u' is required to map to a specified element under the connecting homomorphism and to satisfy a prescribed interpolation property. In a paper by O. Venjakob, for certain abelian extensions an element E_p,u' is constructed and we prove that it satisfies the desired interpolation property. Regarding the third conjecture, we prove the following for certain CM elliptic curves E/Q and good ordinary primes p. Up to an element \Omega_p,u,u' reflecting a base change related to u and u', twists of L_p,u and E_p,u' by representations related to E assemble to an element L_p,u,E that, up to an Euler factor, is a characteristic element of the dual Selmer group of E and that has an interpolation property related to that expected of a p-adic L-function of E.

Translation of abstract (German)

In dieser Arbeit werden drei Vermutungen von K. Kato untersucht, von denen die erste für eine p-adische Lie Erweiterung F/Q mit Galois Gruppe G formuliert wird, die die zyklotomische Z_p-Erweiterung Q_cyc enthält. Es wird die Existenz eines von einer globalen Einheit u abhängigen Elementes L_p,u in K_1(Zp[[G]]_S) vermutet, das einerseits Urbild eines gewissen Elementes unter dem Verbindungshomomorphismus aus der K-Theorie ist und andererseits eine vorgegebene Interpolationseigenschaft besitzt. Wir formulieren ein Analogon der Vermutung für quadratisch imaginäre Zahlkörper K und beweisen dieses - unter einer Torsionsannahme - für abelsche Erweiterungen K(E[p^\infty])/K für eine bestimmte Klasse von CM elliptischen Kurven E. Die zweite Vermutung betrifft eine p-adische Lie Erweiterung L/Q_p mit Galois Gruppe G', die Q_p,cyc enthält. Es wird die Existenz eines Elementes E_p,u' in K_1(Z_p^ur[[G']]_S') vermutet, das von einer lokalen Einheit u' abhängt, wiederum eine bestimmte Interpolationseigenschaft besitzt und unter dem Verbindungshomomorphism der K-Theorie auf ein gewisses Element abbildet. In einer Arbeit von O. Venjakob wird für gewisse abelsche Erweiterungen ein Element E_p,u' konstruiert, für das wir das gewünschte Interpolationsverhalten nachweisen. Bezüglich der dritten Vermutung beweisen wir Folgendes für gewisse CM elliptische Kurven E/Q und gute, ordinäre Primstellen p. Wir betrachten von E induzierte Twists von L_p,u und E_p,u' und definieren ein Element \Omega_p,u,u', das einen Basiswechsel beschreibt, der von u und u' abhängt. Mittels dieser Twists und \Omega_p,u,u' definieren wir L_p,u,E, das einerseits, bis auf einen Eulerfaktor, ein charakteristisches Element des Duals der zu E gehörigen Selmer Gruppe ist und andererseits eine Interpolationseigenschaft besitzt, die in engem Zusammenhang zu der steht, die von einer p-adischen L-Funktion von E erwartet wird.