%0 Generic
%A Merz, Klaus
%D 2001
%F heidok:1855
%K orthogonale Modulform , Borcherds-Lift , hermitesche Modulformorthogonal modular form , Borcherds lift , hermitian modular form , Gauss numbers , theta-series
%R 10.11588/heidok.00001855
%T Theta-Reihen zum Gaußschen Zahlkörper und Borcherds-Lifts
%U https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/1855/
%X In dieser Arbeit werden spezielle orthogonale Modulformen als additive Lifts nach Borcherds im Fall der Signatur (2,4) konstruiert. Dieser Fall entspricht dem hermiteschen vom Grad zwei.  Hier spielen die von Freitag eingeführten Theta-Reihen eine wichtige Rolle. Ihre Quadrate sind symmetrische Modulformen vom Gewicht zwei zur Hauptkongruenzgruppe der Stufe 1+i zum Determinantencharakter und sie erzeugen die Algebra der symmetrischen Modulformen zu dieser Gruppe. Ziel dieser Arbeit ist es, diese Theta-Reihen auf der orthogonalen Seite als additive Lifts zu konstruieren. Wir erhalten damit neue Aussagen über die Theta-Reihen und neue Beweise für bekannte Tatsachen. Insbesondere wird das genaue Transfomationsverhalten der Theta-Reihen und ihr Relationenideal bestimmt. Wir wählen dazu ein geeignetes Gitter und erhalten, daß der Raum der konstanten elliptischen Modulfomen zur Weil-Darstellung der Diskriminantengruppe dieses Gitters zwanzigdimensional ist. Nach Borcherds erhalten wir einen Raum von orthogonalen Modulformen zum Diskriminantenkern, welcher Dimension zehn hat. Wir finden eine Basis deren Elemente Zwangsnullstellen auf Heegner-Divisoren haben. Mit Hilfe eines multiplikativen Lifts nach Borcherds erhalten wir, daß diese Zwangsnullstellen die genauen Nullstellen der additiven Lifts sind. Wir geben einen Isomorphismus zwischen dem orthogonalen und hermiteschen Halbraum und eine Isogenie zwischen der orthogonalen bzw. hermitesch-symplektischen Gruppe an, die mit diesem Isomorphismus und den Operationen auf den Halbräumen verträglich ist.  Unter diesem Übersetzungsmechanismus gehen die zehn additiven Lifts in die zehn Theta-Reihen über, wie mit Hilfe der Nullstellen gezeigt wird.  Die Aussagen über die Theta-Reihen folgen dann mit Hilfe der orthogonalen Theorie.