%0 Generic
%A Bundschuh, Michael
%D 2001
%F heidok:1943
%K Liftung , Darstellungsanzahl quadratischer Formen , Borcherds-Lift , Heegner-Divisorlifting , respresentation number of quadratic forms , Borcherds lift , Heegner divisor
%R 10.11588/heidok.00001943
%T Über die Endlichkeit der Klassenzahl gerader Gitter der Signatur (2,n) mit einfachem Kontrollraum
%U https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/1943/
%X Wir untersuchen Modulformen zu orthogonalen Gruppen mit vorgegebenen Null- und  Polstellen auf Heegnerdivisoren mit Hilfe des Dualitätssatzes von Borcherds.  Enthält ein gewisser Kontrollraum, bestehend aus vektorwertigen elliptischen  Modulformen, keine nichttriviale Spitzenform, so ist jeder Heegnerdivisor auf  der orthogonalen Halbebene der Hauptdivisor einer automorphen Form, genauer  eines Borcherdsproduktes. Dabei hängt die betrachtete orthogonale Gruppe  ebenso wie der Kontrollraum von einem geraden Gitter der Signatur (2,n) ab. Wir zeigen, daß unter milden zusätzlichen Voraussetzungen für fast alle  Isomorphieklassen solcher Gitter nichttriviale Spitzenformen im Kontrollraum  existieren. Gibt es im Kontrollraum eines Gitters nur die triviale Spitzenform, so codieren die Fourierkoeffizienten einer bestimmten Eisensteinreihe die Gewichte gewisser holomorpher orthogonaler Modulformen, die nach unten durch das singuläre  Gewicht beschränkt sind. Für Gitter großer Determinante finden wir solche  Fourierkoeffizienten, die diese Schranke unterschreiten. Daher muß der  Kontrollraum dann nichttriviale Spitzenformen enthalten. Ferner konstruieren wir eine Liftungsabbildung von elliptischen Modulformen zur Hecke-Gruppe der quadratfreien Stufe N in den Kontrollraum. Diese ist auf  gewissen durch das Verschwinden von Fourierkoeffizienten in arithmetischen  Progressionen definierten Räumen injektiv und überführt Spitzenformen in  Spitzenformen. Für Gitter, deren Determinante eine ungerade Primzahl ist, ist  dieser Lift ein Isomorphismus zwischen dem Heckeschen '+'- oder '-'-Raum und dem Unterraum der Spitzenformen im Kontrollraum, abhängig von der Gestalt  des Gitters.