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datestamp: 2018-07-03 07:26:42
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status_changed: 2018-07-03 07:26:42
type: doctoralThesis
metadata_visibility: show
creators_name: Juschka, Ann-Kristin
title: Geometric Properties of Versal Deformation Rings and Universal Pseudodeformation Rings
title_de: Geometrische Eigenschaften von versellen Deformationsringen und universellen Pseudodeformationsringen
subjects: 510
divisions: 110400
adv_faculty: af-11
abstract: Consider the absolute Galois group $G_K$ of an extension $K$ of $\mathbb{Q}_p$ finite degree $d$, and a finite field $\mathbb{F}$ of prime characteristic $p$. 
Following Mazur [Maz89], we define the versal deformation ring $R_{\overline{\rho}}^\psi$ with fixed determinant of a Galois representation $\overline{\rho}: G_K\to GL_n(\mathbb{F})$. 
Then for $n=2$ and $p>3$ our first main result states that $R_{\overline{\rho}}^\psi$ is an integral domain so that the associated versal deformation space $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ is irreducible. For this, we use the explicit relations of $R_{\overline{\rho}}^\psi$ computed in [Boe00] and a commutative algebra criterion. We deduce from [Nak13] that for $n=2$ and any $K$ the benign crystalline points are Zariski dense in $\mathfrak{X}({\overline{\rho}})$. This is expected to be useful for the surjectivity of the $p$-adic local Langlands correspondence.
Furthermore, for arbitrary $n$ and $p$ we show that the refined quadratic parts of the relations of $R_{\overline{\rho}}^\psi$ can be obtained cohomologically from a cup product and a Bockstein homomorphism if a certain lift of $\overline{\rho}$ exists.
Following Chenevier [Che14], we construct the universal pseudodeformation ring $R_{\overline{D}}^{univ}$ of an $n$-dimensional pseudorepresentation $\overline{D}: \mathbb{F}[G_K]\to\mathbb{F}$. 
Motivated by the result [Che11] on the equidimensionality of the generic fiber of the universal pseudorepresentation ring in characteristic $0$, our second main result says that the special fiber $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$  of $R_{\overline{D}}^{univ}$ is equidimensional of dimension $dn^2+1$ if $p>n$ or if $K$ does not contain a primitive $p^{th}$ root of unity $\zeta_p$. In the latter case, if either $n>2$ or $n=2$ and $d>1$ we prove that the regular locus of $\Spec\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ consists of certain irreducible pseudodeformations and that $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ satisfies Serre's condition $R_2$.
abstract_translated_text: Betrachte die absolute Galoisgrouppe $G_K$ einer Erweiterung $K$ von $\mathbb{Q}_p$ von endlichem Grad $d$ und einen endlichen Körper $\mathbb{F}$ von Primzahlcharacteristik $p$. 
Mazur [Maz89] folgend, definieren wir den versellen Deformationsring $R_{\overline{\rho}}^\psi$ mit fester Determinante einer Galoisdarstellung $\overline{\rho}: G_K\to GL_n(\mathbb{F})$. 
Dann sagt unser erstes Hauptresultat für $n=2$ und $p>3$ aus, dass $R_{\overline{\rho}}^\psi$ ein Integritätsring ist, sodass der dazugehörige verselle Deformationsraum $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ unzerlegbar ist. Dafür benutzen wir die expliziten Relationen von $R_{\overline{\rho}}^\psi$, die in [Boe00] berechnet wurden, und ein Kriterium aus der Kommutativen Algebra. Wir folgern aus [Nak13] für $n=2$ und beliebiges $K$, dass die benignen krystallinen Punkte Zariski-dicht in $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ sind. Dies ist voraussichtlich nützlich für die Surjektivität der $p$-adischen lokalen Langlands-Korrespondenz.
Des Weiteren zeigen wir für beliebiges $n$ und $p$, dass die verfeinerten quadratischen Anteile der Relationen von $R_{\overline{\rho}}^\psi$ kohomologisch durch ein Cup-Produkt und einen Bockstein-Homomorphismus erhalten werden können -- falls ein geeigneter Lift von $\overline{\rho}$ existiert.
Chenevier [Che14] folgend, konstruieren wir den universellen Pseudodeformationsring $R_{\overline{D}}^{univ}$ einer $n$-dimensionellen Pseudodarstellung $\overline{D}: \mathbb{F}[G_K]\to\mathbb{F}$. 
Motiviert durch das Resultat [Che11] über die Äquidimensionalität der generischen Faser des universellen Pseudodarstellungsrings in Characteristic $0$, zeigt unser zweites Hauptresultat, dass die spezielle Faser $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ von $R_{\overline{D}}^{univ}$ äquidimensional von Dimension $dn^2+1$ ist, falls $p>n$ oder falls~$K$ keine $p^{te}$ primitive Einheitswurzel $\zeta_p$ enthält. In letzterem Fall beweisen wir, falls entweder $n>2$ oder $n=2$ und $d>1$, dass der reguläre Lokus von $\Spec\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ aus bestimmten unzerlegbaren Pseudodeformationen besteht und dass $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ Serre's Bedingung $R_2$ erfüllt.
abstract_translated_lang: ger
date: 2018
id_scheme: DOI
id_number: 10.11588/heidok.00024224
ppn_swb: 1654421235
own_urn: urn:nbn:de:bsz:16-heidok-242243
date_accepted: 2018-04-30
advisor: HASH(0x556120bf7178)
language: eng
bibsort: JUSCHKAANNGEOMETRICP2018
full_text_status: public
citation:   Juschka, Ann-Kristin  (2018) Geometric Properties of Versal Deformation Rings and Universal Pseudodeformation Rings.  [Dissertation]     
document_url: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/24224/1/Ann-Kristin-2018-03-30.pdf