%0 Generic
%A Reisinger, Christoph
%D 2004
%F heidok:4954
%K Hochdimensionale Partielle Differentialgleichungen , VariationsungleichungenOption Pricing , High Dimensional Partial Differential Equations , Sparse Grids , Multigrid , Asymptotic Analysis
%R 10.11588/heidok.00004954
%T Numerische Methoden für hochdimensionale parabolische Gleichungen am Beispiel von Optionspreisaufgaben
%U https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/4954/
%X Zunehmend an Bedeutung in einer Vielzahl von Anwendungsfeldern gewinnen hochdimensionale Aufgabenstellungen, oft in der Form von partiellen Differentialgleichungen. Kernpunkt dieser Arbeit sind Diskretisierungsverfahren speziell für diese Problemklasse, wobei en passent auch auf die untrennbar verbundenen Aspekte iterativer Gleichungslösung und speziell auch der Modellreduktion (hier in Form von asymptotischer Analysis zur Reduzierung der Dimension) eingegangen wird. Als Anwendungsbeispiel werden Optionspreisaufgaben in bis zu dreißig Dimensionen studiert, da viele Produkte am Markt durch die Anzahl der Faktoren direkt auf hochdimensionale (Un-)Gleichungen führen und außerdem die oft unabdingbare stochastische Modellierung von Marktdaten die Dimension weiter hochtreibt. Die Basis dazu bilden dünne Gitter. Mittels der Kombinationstechnik wird die Dünngitter-Lösung aus Finite-Differenzen-Lösungen auf einer Familie anisotroper kartesischer Gitter extrapoliert, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade entscheidend reduziert und der Algorithmus auf natürliche Weise parallelisiert werden kann. Aus einer geeigneten Fehlerdarstellung am kartesischen Gitter werden (Dünngitter-)Fehlerabschätzungen in einer geschlossenen Form für beliebige Dimensionen abgeleitet und ein zusätzlicher multivariater Extrapolationsschritt für eine höhere Konvergenzordnung motiviert. Dies erlaubt die numerische Differentiation mit hinreichender Genauigkeit. Optimale Komplexität des Gesamtalgorithmus sowie eine effiziente Lastverteilung werden durch robuste Mehrgitterverfahren mit Block-Glättern und angepassten Transferoperatoren an freien Rändern (bei Amerikanischen Optionen) erzielt. Am Beispiel von Basket-Optionen wird schließlich demonstriert, wie Probleme, deren Dimensionalität den mit dünnen Gittern behandelbaren Rahmen (ungefähr sechs) übersteigt, mittels Hauptkomponentenanalyse und asymptotischer Analysis durch Aufgaben drastisch reduzierter Dimension mit hoher Genauigkeit approximiert werden können.