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Abstract

Nowadays, an increasing number of numerical modeling techniques, notably by means of the finite element method (FEM), are involved in the industrial design process and play a vital role in the area of the biomedical engineering. Particularly, the computational fluid dynamics (CFD) has become a promising tool for investigating the fluid behavior and has also been used to study the cardiovascular hemodynamics to predict the blood flow in the cardiovascular system over the recent decades.

However, simulating a fluid in rotational frames is not trivial, as the classical fluid calculation considers that the geometry of the fluid domain does not alter along the time. In the meanwhile, due to the high rotating speed and the complex geometry of the ventricular assist device (VAD), a turbulent flow must be developed inside the pump housing. The Navier-Stokes equations are not applicable in respect of our available computing resource, additional assumptions and approaches are often applied as a means to model the eddy formation and cope with numerical instabilities.

For many applications, there is still a big gap between the experimental data and the numerical results. Some of the discrepancies come especially from uncertain data which are used in the physical model, therefore, Uncertainty Quantification (UQ) comes into play. The Galerkin-based polynomial chaos expansion method delivers directly the mean and higher stochastic moments in a closed form. Due to the Galerkin projection’s properties, the spectral convergence is achieved.

This thesis is dedicated to developing an efficient model to simulate the blood pump assuming uncertain parametric input sources. In a first step, we develop the shear layer update approach built on the Shear-Slip Mesh Update Method (SSMUM), our proposition facilitates the update procedure in parallel computing by forcing the local vector to retain the same structure. In a second step, we focus on the Variational Multiscale method (VMS) in order to handle the numerical instability and approximate the turbulent behavior in the blood. As a consequence of utilizing the intrusive Polynomial Chaos formulation, a highly coupled system needs to be solved in an efficient manner. Accordingly, we take advantage of the Multilevel preconditioner to precondition our stochastic Galerkin system, in which the Mean-based preconditioner is prescribed to be the smoother. Besides, the mean block is preconditioned with the Schur-Complement method, which leads to an acceleration of the solution process. Hence, by developing and combining the proposed solvers and preconditioners, dealing with a large coupled stochastic fluid problem on a modern computer architecture is then feasible. Furthermore, based on the stochastic solutions obtained from the previous described system, we obtain valuable information about the blood flow accompanied with certain level of confidence, which is beneficial for designing a new blood-handle device or improving the current model.

Translation of abstract (German)

Heutzutage spielen in zunehmender Zahl numerische Modellierungstechniken - allen voran Techniken, welche die Finite-Elemente-Methode (FEM) verwenden - eine Rolle bei Prozessen im Industriedesign, Dar uber hinaus sie sind ebenso nicht mehr wegzudenken aus dem Bereich der biomedizinischen Ingenieurwissenschaften. Insbesondere die Numerische Strömungsmechanik (CFD) hat sich zu einem wichtigen Werkzeug entwickelt, um das Verhalten von Fluiden zu untersuchen, und wurde in den letzten Jahrzehnten unter anderem dazu verwendet, kardiovaskuläre Hämodynamik zu studieren und den Blutfluss im kardiovaskulären System vorherzusagen.

Allerdings birgt die Simulation einer Flüssigkeit in einem rotierenden Gebiet einige Herausforderungen. Denn bei klassischen Flüssigkeitsberechnungen wird die Geometrie eines Strömungsgebiets als unabhängig von zeitlichen Veränderungen betrachtet. Wegen der hohen Rotationsgeschwindigkeit und der komplexen Geometrie des ventrikulären Unterstützungssystems muss sich im Pumpgehäuse eine turbulente Strömung entwickeln. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind nicht direkt anwendbar im Hinblick auf die uns zur Verfügung stehenden Berechnungsressourcen, zusätzliche Annahmen und Herangehensweisen werden oft eingesetzt, um beispielweise die Formierung von Kehrwasser zu modellieren und numerische Instabilitäten zu bewältigen.

Für viele Anwendungen besteht noch eine große Lücke zwischen den experimentellen Daten und den numerischen Ergebnissen. Einige Diskrepanzen haben ihre Ursache insbesondere in unsicheren Daten, die für die physikalischen Modelle verwendet werden; daher kommt die Unsicherheitsquantifizierung (UQ) ins Spiel. Die Galerkin-basierte polynomielle Chaosentwicklung liefert direkt den Erwartungswert und höhere stochastische Momente in einer geschlossenen Form. Aufgrund der Eigenschaften der Galerkin-Projektion erhält man direkt die Konvergenz im Spektralraum.

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Entwicklung eines effizienten Modells, um eine Blutpumpe unter der Annahme unsicherer parametrischer Eingabe-Quellen zu simulieren. In einem ersten Schritt entwickeln wir dabei den sogenannten Shear Layer Update Approach, gestützt auf die Shear-Slip Mesh Update Method (SSMUM); dieses Vorgehen erleichtert die Aktualisierungsprozedur im Parallelrechner, indem sie den Erhalt der Struktur für den lokalen Vektor erzwingt. In einem zweiten Schritt konzentrieren wir uns auf die Variational Multiscale Method (VMS), um die numerische Instabilität zu bewältigen und das turbulente Verhalten des Blutes zu approximieren. Die Verwendung der intrusiven polynomiellen Chaosentwicklung führt dazu, dass wir ein stark gekoppeltes System auf effiziente Weise lösen müssen. Dazu bedienen wir uns des Multilevel-Vorkonditionierers, um unser stochastisches Galerkin-System vorzukonditionieren, bei welchem der Vorkonditionierer des Erwartungswertes als Glätter für alle stochastischen Momente verwendet wird. Weiterhin wird der Erwartungswert-Block mit dem Schur-Komplement-Verfahren vorkonditioniert, was zu einer Beschleunigung des gesamten Lösungsprozesses führt. Auf diese Weise wird es, durch die Entwicklung und Kombination der vorgeschlagenen Löser und Vorkonditionierer, praktikabel, ein großes, gekoppeltes stochastisches Strömungsproblem auf einer modernen parallelen Computer-Architektur zu behandeln. Ferner erhalten wir, basierend auf den aus dem vorherigen System erzielten stochastischen Lösungen, wertvolle Informationen über den Blutfluss mit einer gewissen stochastischen Verlässlichkeit. Dies ist von Vorteil sowohl für das Design eines neuen blutführenden Medizinproduktes als auch für die Verbesserung des gegenwärtigen Modells.