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Abstract

In this thesis we investigate driven-dissipative stationary scaling states of Burgers’ and Gross–Pitaevskii equations (GPE).

The path integral representation of the steady state of the stochastic Burgers equation is used in order to investigate the scaling solutions of the system at renormalisation group fixed points. We employ the functional renormalisation group in order to access the nonperturbative regime. We devise an approximation that respects Galilei invariance and is designed to resolve the frequency and momentum dependence of the two-point velocity correlation function. We establish a set of renormalisation group fixed point equations for effective inverse propagators with an arbitrary frequency and momentum dependence. In all spatial dimensions they yield a continuum of fixed points as well as an isolated one. These results are fully compatible with the existing literature for d = 1 only. For d ̸= 1 however results of the literature focus almost exclusively on irrotational solutions while the solutions that our approximation can capture contain necessarily vorticity and are closer to Navier-Stokes turbulence.

Non-equilibrium steady states of ultra-cold Bose gases coupled to external reservoirs of energy and particles such as exciton–polariton condensates are related to the stochastic KPZ equation by the density and phase decomposition of the average complex wave function. We postulate that the scaling that we obtain in this context applies as well to far-from-equilibrium quasi-stationary steady states (non-thermal fixed points) of the corresponding closed system described by the GPE. We translate results found in the KPZ literature to their corresponding dual in the ultra-cold Bose gas set-up. We find that this provides a new scaling relation which can be used to analytically identify the classical Kolmogorov −5/3 exponent and its anomalous correction. Moreover we estimate the anomalous correction to the scaling exponent of the compressible part of the kinetic energy spectrum of the Bose gas which is confirmed by numerical simulations of the GPE.

Translation of abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit werden die getrieben-dissipativen stationären skaleninvarianten Zustände der Burgers- und Gross–Pitaevskii-Gleichungen (GPE) untersucht.

Die Pfadintegral-Darstellung des stationären Zustands der stochastischen Burgers-Gleichung wird verwendet, um skaleninvariante Lösungen des Systems an Fixpunkten der Renormierungsgruppe zu studieren. Die funktionale Renormierungsgruppe wird genutzt, um die Physik in einer nicht-perturbativen Näherung zu beschreiben. Eine Approximation, die Galileiinvarianz berücksichtigt und die die Frequenz- und Impulsabhängigkeit der zwei-Punkt Geschwindigkeits-Korrelationsfunktion beschreiben kann, wird konstruiert. Ein System von Fixpunktgleichungen der Renormierungsgruppe für beliebige Frequenz und Impulsabhängigkeiten des inversen Propagators wird aufgestellt. In allen betrachteten Raumdimensionen ergeben diese ein Kontinuum von Fixpunkten und einen isolierten Fixpunkt. Diese Ergebnisse weisen nur für d=1 eine gute. . .Werten auf. In der Literatur werden jedoch fast ausschliesslich wirbelfreie Lösungen behandelt, während die in der vorliegenden Arbeit verwendete Näherung exklusiv für Lösungen mit Vortizität anwendbar ist. Dadurch ist diese ähnlicher zur Navier–Stokes-Turbulenz.

Stationäre Nichtgleichgewichtszustände ultrakalter Bose-Gase gekoppelt an externe Energie- und Teilchenreservoirs, wie zum Beispiel Exziton-Polariton Kondensate, stehen mit der stochastischen Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) Gleichung durch die Dichteund Phasenzerlegung der gemittelten komplexen Wellenfunktion in Beziehung. Unsere Ergebnisse legen nahe, dass die skaleninvarianten Lösungen, die wir in diesem Kontext finden, auch gültig sind für quasi-stationäre Zustände des konservativen Systems fern des Gleichgewichts (nicht-thermische Fixpunkte), welche mit Hilfe der GPE beschrieben werden können. Für das KPZ-Modell bekannte Ergebnisse werden auf ultrakalte Bose- Gase angewandt. Auf diese Weise läßt sich eine neue Skalenrelation herleiten, welche dazu verwendet werden kann, Kolmogorovs Skalenexponent 5/3 der turbulenten Energieverteilung in einer inkompressiblen Flüssigkeit zu bestimmen. Darüberhinaus erhält man eine anomale Korrektur zum inkompressiblen wie auch zum kompressiblen Anteil des Energiespektrums eines verdünnten Bose-Gases.