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Abstract

In this thesis, we develop an accurate and robust numerical framework for interface problems involving moving interfaces. In particular, we are interested in the simulation of fluid-structure interaction problems in Eulerian coordinates.

Our numerical model for fluid-structure interactions (FSI) is based on the monolithic "Fully Eulerian" approach. With this approach we can handle both strongly-coupled problems and large structural displacements up to contact.

We introduce modified discretisation schemes of second order for both space and time discretisation. The basic concept of both schemes is to resolve the interface locally within the discretisation. For spatial discretisation, we present a locally modified finite element scheme that is based on a fixed patch mesh and a local resolution of the interface within each patch. It does neither require any remeshing nor the introduction of additional degrees of freedom. For discretisation in time, we use a modified continuous Galerkin scheme. Instead of polynomials in direction of time, we define polynomial functions on space-time trajectories that do not cross the interface.

Furthermore, we introduce a pressure stabilisation technique based on "Continuous Interior Penalty" method and a simple stabilisation technique for the structural equation that increases the robustness of the Fully Eulerian approach considerably. We give a detailed convergence analysis for all proposed discretisation and stabilisation schemes and test the methods with numerical examples.

In the final part of the thesis, we apply the numerical framework to different FSI applications. First, we validate the approach with the help of established numerical benchmarks. Second, we investigate its capabilities in the context of contact problems and large deformations. We study contact problems of a falling elastic ball with the ground, an inclined plane and some stairs including the subsequent bouncing. For the case that no fluid layer remains between ball and ground, we use a simple contact algorithm.

Furthermore, we study plaque growth in blood vessels up to a complete clogging of the vessel. Therefore, we use a monolithic mechano-chemical fluid-structure-interaction model and include the fast pulsating flow dynamics by means of a temporal two-scale scheme. We present detailed numerical studies for all three applications including a numerical convergence analysis in space and time, as well as an investigation of the influence of different material parameters.

Translation of abstract (German)

In dieser Arbeit entwickeln wir akkurate und robuste numerische Methoden für Interface-Probleme mit beweglichen Interfaces. Der Fokus liegt hierbei auf der Simulation von Fluid-Struktur-Interaktionen in Eulerschen Koordinaten.

Unser numerisches Modell für Fluid-Struktur-Interaktionen (FSI) basiert auf einem monolithischen Ansatz in Eulerschen Koordinaten ("Fully Eulerian approach"). Mit diesem Ansatz sind wir in der Lage sowohl stark gekoppelte Probleme als auch Probleme mit großen Strukturdeformationen bis hin zu Kontakt zu simulieren.

Sowohl für die örtliche als auch für die zeitliche Diskretisierung entwickeln wir modifizierte Diskretisierungstechniken von zweiter Ordnung. Die grundlegende Idee beider Techniken besteht darin das Interface lokal in der Diskretisierung aufzulösen. Für die örtliche Diskretisierung stellen wir ein lokal modifiziertes Finite-Elemente-Schema auf Basis eines festen Patchgitters vor. Das Verfahren kommt ohne Remeshing und ohne die Einführung von zusätzlichen Freiheitsgraden aus. Für die Zeitdiskretisierung entwickeln wir ein Zeitschrittschema auf Basis eines modifizierten stetigen Galerkinansatzes. Anstatt Polynome in der Zeit zu verwenden, definieren wir polynomiale Funktionen auf Raum-Zeit-Trajektorien, die nur innerhalb eines Teilgebietes verlaufen.

Desweiteren stellen wir eine Druckstabilisierungstechnik basierend auf der "Continuous Interior Penalty"-Methode und eine einfache Stabilisierungstechnik für die Strukturgleichungen vor, welche die Robustheit des Eulerschen Ansatzes für FSI wesentlich erhöht. Wir geben eine detaillierte Konvergenzanalyse für alle genannten Diskretisierungs- und Stabilisierungstechniken und testen die Methoden anhand von numerischen Beispielen.

Im letzen Teil dieser Arbeit wenden wir den entwickelten Eulerschen Ansatz auf verschiedene FSI-Anwendungen an. Zunächst beschäftigen wir uns mit etablierten numerischen Benchmarks, um den Ansatz numerisch zu validieren. Anschließend behandeln wir zwei Anwendungen mit großen Strukturdeformationen und Kontakt.

Als erstes untersuchen wir Kontaktprobleme eines frei fallenden elastischen Balles mit dem Boden, einer schiefen Ebene und mit Treppenstufen und dessen anschließendes Auf- und Abspringen. Für den Fall, dass zwischen Ball und Boden keine Fluidschicht bleibt, wenden wir einen einfachen Kontaktalgorithmus an. Desweiteren simulieren wir das Wachstum von Plaque in Blutgefäßen bis hin zur kompletten Verstopfung mithilfe eines mechano-chemischen FSI-Modells. Die schnell pulsierende Strömungsdynamik geht hierbei mithilfe eines zeitlichen Zweiskalenalgorithmus ein.

Für alle drei Anwendungen präsentieren wir detaillierte numerische Studien, zeigen numerische Konvergenz in Raum und Zeit und analysieren den Einfluss von verschiedenen Materialparametern.