German Title: Polyfold-Methoden für die Analyse periodischer Delay-Orbits

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Abstract

We use methods from symplectic geometry to study periodic solutions of differential delay equations (DDEs, also known as retarded functional differential equations, RFDEs). Using polyfold theory, we prove that near a given non-degenerate 1-periodic orbit of a vector field in R^n , there is a 1-dimensional family of 1-periodic delay orbits smoothly parametrized by delay. Then we generalize this result in several ways. Moreover, we prove an abstract compactness theorem for perturbed non-local unregularized gradient flow lines in R^2n , which is one step towards the construction of Floer theory for Hamiltonian delay equations.

Translation of abstract (German)

Wir benutzen Methoden aus der symplektischen Geometrie, um periodische Lösungen von Verz̈ogerungsgleichungen (differential delay equations, DDEs, auch bekannt als retardierte Differentialgleichungen, RFDEs) zu untersuchen. Mithilfe von Polyfold-Theory beweisen wir, dass es nahe einem gegebenen, nicht-degenerierten 1-periodischen Orbit eines Vektorfeldes in R^n eine 1-dimensionale Familie von 1-periodischen Delay-Orbits gibt, die glatt durch die Verzögerung parametrisiert werden kann. Danach verallgemeinern wir dieses Resultat auf verschiedene Art. Außerdem beweisen wir ein abstraktes Kompaktheits-Theorem für gestörte nicht-lokale deregularisierte Gradientenflusslinien in R^2n, das einen Schritt in Richtung der Konstruktion einer Floer-Theorie für Hamiltonsche Verzögerungsgleichungen darstellt.