German Title: Themen in persistenter Homologie: Von Morse Theorie für Minimalflächen zu effizienter Berechnung von Bildern in persistenter Homologie

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Abstract

We study some problems and develop some theory related to persistent homology, separated into two lines of investigation. In the first part, we introduce lifespan functors, which are endofunctors on the category of persistence modules that filter out intervals from barcodes according to their boundedness properties. They can be used to classify injective and projective objects in the category of barcodes and the category of pointwise finite-dimensional persistence modules. They also naturally appear in duality results for absolute and relative versions of persistent (co)homology, generalizing previous results in terms of barcodes by de Silva, Morozov, and Vejdemo-Johansson. Due to their functoriality, we can apply these results to morphisms in persistent homology that are induced by morphisms between filtrations. This lays the groundwork for an efficient algorithm to compute barcodes of images and induced matchings of such morphisms, which performs computations in terms of relative cohomology and then translates to absolute homology via the aforementioned dualities. Our method is based on a previous algorithm by Cohen-Steiner, Edelsbrunner, Harer, and Morozov that did not make use of relative cohomology. Using it is crucial, however, because our algorithm applies the clearing optimization introduced by Chen and Kerber, which works particularly well in the context of relative cohomology. We provide an implementation of our algorithm for inclusions of filtrations of Vietoris–Rips complexes in the framework of the software Ripser by Ulrich Bauer. In the second part, we introduce local connectedness conditions on a broad class of functionals that ensure that the persistent homology of their associated sublevel set filtration is q-tame, which, in particular, implies that they satisfy generalized Morse inequalities. We illustrate the applicability of these results by recasting the original proof of the unstable minimal surface theorem given by Morse and Tompkins in terms of persistent Čech homology in a modern and rigorous framework. Moreover, we show that the interleaving distance between the persistent singular homology and the persistent Čech homology of a filtration consisting of paracompact Hausdorff spaces is 0 if it satisfies a similar local connectedness condition to the one used to ensure q-tameness, generalizing a result by Mardešić for locally connected spaces to the setting of filtrations. In contrast to singular homology, the persistent Čech homology of a compact filtration is always upper semi-continuous, which has structural implications in the q-tame case: using a result by Chazal, Crawley-Boevey, and de Silva concerning radicals of persistence modules, we show that every lower semi-continuous q-tame persistence module can be decomposed as a direct sum of interval modules and that every upper semi-continuous q-tame persistence module can be decomposed as a product of interval modules.

Translation of abstract (German)

Wir betrachten einige Probleme und entwickeln etwas Theorie zu persistenter Homologie, unterteilt in zwei Forschungslinien. Im ersten Teil führen wir Lifespan-Funktoren ein; also Endofunktoren auf der Kategorie der Persistenzmoduln, die Intervalle entsprechend ihrer Beschränktheitseigenschaften aus Barcodes herausfiltern. Mit diesen Funktoren können injektive und projektive Objekte in der Kategorie der Barcodes und der Kategorie der punktweise endlich dimensionalen Persistenzmoduln klassifiziert werden. Sie erscheinen ebenfalls auf natürliche Weise in Dual- itätsresultaten für absolute und relative Versionen von persistenter (Ko)Homologie, welche Resultate bezüglich Barcodes von de Silva, Morozov und Vejdemo-Johansson verallgemein- ern. Aufgrund ihrer Funktorialität können diese Resultate auf Morphismen in persistenter Homologie angewendet werden, die von Morphismen zwischen Filtrationen induziert werden. Dies legt den Grundstein für einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von Barcodes von Bildern und induzierten partiellen Bijektionen solcher Morphismen, welcher Berechnungen in relativer Kohomologie ausführt und dann mittels der zuvor beschriebenen Dualität in absolute Homologie übersetzt. Diese Methode basiert auf einem vorangegangen Algorith- mus von Cohen-Steiner, Edelsbrunner, Harer und Morozov, der relative Kohomologie nicht verwendet. Relative Kohomologie zu verwenden ist aber zentral, weil unser Algorithmus die sogenannte clearing Optimierung von Chen und Kerber benutzt, die im Zusammenspiel mit relativer Kohomologie besonders wirksam ist. Wir stellen eine Implementierung unseres Algorithmus für den Spezialfall von Vietoris–Rips Komplexen basierend auf der Software Ripser von Ulrich Bauer zur Verfügung. Im zweiten Teil führen wir lokale Zusammenhangsbedingungen für die Subniveaumengen- filtrationen einer weiten Klasse von Funktionalen ein, die sicherstellen, dass die zugehörige persistente Homologie q-zahm ist, was insbesondere impliziert, dass diese Funktionale verallgemeinerte Morse-Ungleichungen erfüllen. Wir illustrieren die Anwendbarkeit dieser Resultate, indem wir den ursprünglichen Beweis des Satzes zu instabilen Minimalflächen von Morse und Tompkins mittels Čech Homologie auf moderne und präzise Weise aufbereiten. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Interleaving-Distanz zwischen persistenter singulärer und persistenter Čech Homologie einer Filtration 0 ist, falls sie eine der vorherigen ähnliche lokale Zusammenhangsbedingung erfüllt, was ein Resultat von Mardešić für lokal zusammen- hängende Räume auf Filtrationen verallgemeinert. Im Gegensatz zu singulärer Homologie hat die persistente Čech Homologie einer kompakten Filtration immer die Eigenschaft, oberhalbstetig zu sein, was im q-zahmen Fall strukturelle Auswirkungen hat: Mithilfe eines Resultats von Chazal, Crawley-Boevey und de Silva zu Radikalen von Persistenz- moduln zeigen wir, dass alle unterhalbstetigen q-zahmen Persistenzmoduln als direkte Summe von Intervallmoduln zerlegt werden können und alle oberhalbstetigen q-zahmen Persistenzmoduln als Produkt von Intervallmoduln zerlegt werden können.