German Title: Deformationstheorie von G-wertigen Pseudocharakteren und symplektische Determinantengesetze

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Abstract

We give an introduction to the theory of pseudorepresentations of Taylor, Rouquier, Chenevier and Lafforgue. We refer to Taylor’s and Rouquier’s pseudorepresentations as pseudocharacters. They are very closely related, the main difference being that Taylor’s pseudocharacters are defined for a group, where as Rouquier’s pseudocharacters are defined for algebras. Chenevier’s pseudorepresentations are so-called polynomial laws and will be called determinant laws. Lafforgue’s pseudorepresentations are a generalization of Taylor’s pseudocharacters to other reductive groups G, in that the corresponding notion of representation is that of a G-valued representation of a group. We refer to them as G-pseudocharacters.

We survey the known comparison theorems, notably Emerson’s bijection between Chenevier’s determinant laws and Lafforgue’s GL(n)-pseudocharacters and the bijection with Taylor’s pseudocharacters away from small characteristics.

We show, that duals of determinant laws exist and are compatible with duals of representations. Analogously, we obtain that tensor products of determinant laws exist and are compatible with tensor products of representations. Further the tensor product of Lafforgue’s pseudocharacters agrees with the tensor product of Taylor’s pseudocharacters.

We generalize some of the results of [Che14] to general reductive groups, in particular we show that the (pseudo)deformation space of a continuous Lafforgue G-pseudocharacter of a topologically finitely generated profinite group Γ with values in a finite field (of characteristic p) is noetherian. We also show, that for specific groups G it is sufficient, that Γ satisfies Mazur’s condition Φ_p.

One further goal of this thesis was to generalize parts of [BIP21] to other reductive groups. Let F/Qp be a finite extension. In order to carry this out for the symplectic groups Sp2d, we obtain a simple and concrete stratification of the special fiber of the pseudodeformation space of a residual G-pseudocharater of Gal(F) into obstructed subloci Xdec(Θ), Xpair(Θ), Xspcl(Θ) of dimension smaller than the expected dimension n(2n + 1)[F : Qp].

We also prove that Lafforgue’s G-pseudocharacters over algebraically closed fields for possibly nonconnected reductive groups G come from a semisimple representation. We introduce a formal scheme and a rigid analytic space of all G-pseudocharacters by a functorial description and show, building on our results of noetherianity of pseudodeformation spaces, that both are representable and admit a decomposition as a disjoint sum indexed by continuous pseudocharacters with values in a finite field up to conjugacy and Frobenius automorphisms.

At last, in joint work with Mohamed Moakher, we give a new definition of determinant laws for symplectic groups, which is based on adding a ’Pfaffian polynomial law’ to a determinant law which is invariant under an involution. We prove the expected basic properties in that we show that symplectic determinant laws over algebraically closed fields are in bijection with conjugacy classes of semisimple representation and that Cayley-Hamilton lifts of absolutely irreducible symplectic determinant laws to henselian local rings are in bijection with conjugacy classes of representations. We also give a comparison map with Lafforgue’s pseudocharacters and show that it is an isomorphism over reduced rings.

Translation of abstract (German)

Wir geben eine Einführung in die Theorie der Pseudodarstellungen von Taylor, Rouquier, Chenevier und Lafforgue. Wir bezeichnen Taylor’s und Rouquier’s Pseudodarstellungen als Pseudocharaktere. Es gibt einen engen Zusammenhang zwischen diesen Begriffen, der Hauptunterschied besteht darin, dass Taylor’s Pseudocharaktere für eine Gruppe definiert werden, während Rouquier’s Pseudocharaktere für Algebren definiert werden. Chenevier’s Pseudodarstellungen sind sogenannte polynomische Gesetze, die Determinantengesetze genannt werden. Lafforgue’s Pseudodarstellungen sind eine Verallgemeinerung von Taylor’s Pseudodarstellungen auf andere reduktive Gruppen G, d.h. der zugehörige Begriff von Darstellung ist der einer G-wertigen Darstellung einer Gruppe. Wir nenne sie G-Pseudocharaktere.

Wir geben einen Überblick über die bekannten Vergleichssätze, wie Emerson’s Bijektion zwischen Chenevier’s Determinantengesetzen und Lafforgue’s GLn-Pseudocharakteren und die Bijektion zwischen Taylor’s Pseudocharakteren und den beiden erstgenannten Begriffen in nicht kleiner Charakteristik.

Wir zeigen, dass Duale von Determinantengesetzen existieren und verträglich mit Dualen von Darstellungen sind. Analog erhalten wir, dass Tensorprodukte von Determinantengesetzen existieren und verträglich mit Tensorprodukten von Darstellungen sind. Weiterhin stimmen Tensorprodukte von Lafforgue’s Pseudocharakteren mit Tensorprodukten von Taylor’s Pseudocharakteren überein.

Wir verallgemeinern einige der Ergebnisse von [Che14] auf allgemeine reduktive Gruppen. Insbesondere zeigen wir, dass der Pseudodeformationsraum eines stetigen G-Pseudocharakters einer topologisch endlich erzeugten proendlichen Gruppe Γ mit Werten in einem endlichen Körper (von Charakteristik p) noethersch ist. Wir zeigen auch, dass es für spezielle Gruppen G genügt, dass Γ Mazur’s Bedingung Φ_p erfüllt.

Ein weiteres Ziel dieser Arbeit war es, Teile von [BIP21] auf andere reduktive Gruppen zu verallgemeinern. Sei F/Qp eine endliche Erweiterung. Um das für die symplektischen Gruppen Sp2d durchzuführen, geben wir eine einfache und konkrete Stratifizierung der speziellen Faser des Pseudodeformationsraums eines residuellen Sp2d-Pseudocharakters Θ von Gal(F) in obstruierte Unterräume Xdec(Θ), Xpair(Θ), Xspcl(Θ) an, deren Dimension kleiner, als die erwartete Dimension n(2n + 1)[F : Qp] des Gesamtraums ist.

Wir zeigen auch, dass Lafforgue’s G-Pseudocharaktere über algebraisch abgeschlossenen Körpern für möglicherweise nicht-zusammenhängende reduktive Gruppen G von einer halbeinfachen Darstellung kommen. Wir führen ein formales Schema und einen rigid-analytischen Raum von allen G-Pseudocharakteren durch eine funktorielle Beschreibung ein, wobei wir auf unsere Ergebnisse zur Noetherschheit der Pseudodeformationsräume zurückgreifen. Wir zeigen dass beide Funktoren darstellbar sind und in eine disjunkte Vereinigung zerfallen, wobei die Indexmenge aus stetigen Pseudodarstellungen mit Werten in einem endlichen Körper bis auf Konjugation und Frobeniusautomorphismen besteht.

Zuletzt geben wir in gemeinsamer Arbeit mit Mohamed Moakher eine neue Definition von Determinantengesetzen für die symplektischen Gruppen, welche darauf basiert einem Determinantengesetz, welches invariant unter einer Involution ist, ein ’Pfaffsches polynomisches Gesetz’ hinzuzufügen. Wir zeigen die Eigenschaften die man von Pseudodarstellungen erwartet: Symplektische Determinantengesetze über algebraisch abgeschlossenen Körpern sind in Bijektion mit Äquivalenzklassen von halbeinfachen symplektischen Darstellungen und Cayley-Hamilton Lifts zu henselschen lokalen Ringen eines absolut irreduziblen symplektischen Determinantengesetzes sind in Bijektion mit Äquivalenzklassen von Darstellugnen. Wir geben auch eine Vergleichsabbildung mit Lafforgue’s Pseudocharakteren für GLn an und zeigen, dass diese ein Isomorphismus über reduzierten Ringen ist.