Preview

PDF, English - main document Download (1MB) | Lizenz: Geometric Invariants and Asymptotics of Translation Surfaces by Reichert, Maurice underlies the terms of Creative Commons Attribution 4.0

Abstract

By gluing together polygons along parallel edges in a well-defined matter, we obtain translation surfaces, which are two-dimensional manifolds with rich geometric structures.

This thesis examines the geometry of translation surfaces with a focus on understanding the properties of random translation surfaces of high genus in order to gain a broader understanding of the moduli space of translation surfaces. One of the primary challenges in this field is bridging the gap between finite and infinite translation surfaces corresponding to the compact and non-compact cases. We address this challenge by examining the convergence of sequences of finite translation surfaces from different strata and approximating infinite translation surfaces with them.

We use different methods to achieve this approximation. On the one hand, we use some sense of convergence in the underlying Veech group to approach infinite translation surfaces; on the other hand, we want to understand geometric invariants for translation surfaces of large genus. In particular, we explore the behavior of the Cheeger constant, a measure of the inverse of bottleneckedness.

By advancing existing constructions, introducing new perspectives, and analyzing key geometric invariants, this thesis enhances our understanding of translation surfaces for future research.

Translation of abstract (German)

Indem man Polygone auf wohldefinierte Weise entlang paralleler Kanten zusammenfügt, erhält man Translationsflächen, die zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit reichen geometrischen Strukturen sind.

Diese Arbeit untersucht die Geometrie auf Translationsflächen mit dem Fokus, die Eigenschaften zufälliger Translationsflächen mit hohem Geschlecht zu verstehen, um den Modulraum der Translationsflächen allgemeiner zu begreifen.

Eine der Hauptherausforderungen in diesem Bereich besteht darin, die Lücke zwischen endlichen und unendlichen Translationsflächen zu überbrücken, die dem kompakten und nicht-kompakten Fall entsprechen. Wir gehen diese Herausforderung an, indem wir die Konvergenz von Folgen endlicher Translationsflächen aus verschiedenen Strata untersuchen und unendliche Translationsflächen mit ihnen approximieren.

Wir verwenden verschiedene Methoden, um diese Approximation zu erreichen. Einerseits nutzen wir eine Form von Konvergenz in der zugrundeliegenden Veech-Gruppe, um uns unendlichen Translationsflächen zu nähern; andererseits möchten wir geometrische Invarianten für Translationsflächen mit hohem Geschlecht verstehen. Hierzu erforschen wir das Verhalten der Cheeger-Konstante, ein Maß für das Inverse der Größe der Engstelle auf einer Fläche.

Durch die Weiterentwicklung bestehender Konstruktionen, die Einführung neuer Perspektiven und die Analyse zentraler geometrischer Invarianten erweitert diese Arbeit unser Verständnis von Translationsflächen für zukünftige Forschungen.