Englische Übersetzung des Titels: Embedding Problems in Differential Galois Theory

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Abstract

Die Differentialgaloistheorie ist analog zur gewoehnlichen Galoistheorie aufgebaut. Statt Polynomgleichungen ueber Koerpern studiert man lineare Differentialgleichungen ueber einem Differentialkoerper K mit Konstantenkoerper C. Wir nehmen an, dass C algebraisch abgeschlossen und von Charakteristik 0 ist. Die Begriffe "Galoiserweiterung" und "Galoisgruppe" und der Hauptsatz der Galoistheorie haben eine Entsprechung in der Differentialgaloistheorie. Auch Einbettungsprobleme koennen wie in der gewoehnlichen Galoistheorie definiert werden. Zuerst verallgemeinern wir den Begriff eines Frattini-Einbettungsproblems von endlichen auf lineare algebraische Gruppen. Dies erlaubt die Zerlegung eines Einbettungsproblems in ein zerfallendes und ein Frattini-Einbettungsproblem wie in der gewoehnlichen Galoistheorie. Als Hauptresultat fuer zusammenhaengende Einbettungsprobleme erhalten wir: --- Im Fall K=C(t) hat jedes zusammenhaengende Einbettungsproblem eine eigentliche Loesung. --- Wir koennen sogar mehr zeigen: Ist der Transzendenzgrad von K ueber C endlich, dann hat jedes zusammenhaengende, effektive Einbettungsproblem eine eigentliche Loesung. Hier ist die Effektivitaet eine technische Bedingung, die im Fall K=C(t) automatisch erfuellt ist. Diese Resultate koennen fuer einige nicht zusammenhaengende Einbettungsprobleme verallgemeinert werden. Hiermit kann das inverse Problem ueber Funktionenkoerper geloest werden: --- Ist K ein Funktionenkoerper in endlich vielen Variablen ueber C, dann kann jede lineare algebraische Gruppe als Differentialgaloisgruppe ueber K realisiert werden. ---

Übersetzung des Abstracts (Englisch)

Differential Galois theory is build in a similar way as usual Galois theory. Instead of polynomial equations over fields we consider linear differential equations over a differential field K with constant field C. We assume that C is algebraically closed and of characteristic 0. The notations of a Galois extension and a Galois group and the fundamental theorem of Galois theory have their counterparts in differential Galois theory. Also embedding problems can be defined as in usual Galois theory. First we generalize the notation of a Frattini embedding problem from finite to linear algebraic groups. This allows the decomposition of an embedding problem in a Frattini and a split one like in usual Galois theory. As main result for connected embedding problems we get: --- If K=C(t) then every connected embedding problem has a proper solution. --- We even can show more: Is the transcendence degree of K over C finite, then every connected effective embedding problem can be solved properly. Here effectivness is a technical assumption, which is always fulfilled if K=C(t). We can generalize these results to some non connected embedding problems. This can be used to solve the inverse problem over function fields: --- Let K be a function field in finitely many variables over C. Then every linear algebraic group can be realized as differential Galois group over K. ---