German Title: Multivariate Abhängigkeitsstrukturen

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Abstract

The investigation of dependence structures plays a major role in contemporary statistics. During the last decades, numerous dependence measures for both univariate and multivariate random variables have been established. In this thesis, we study the distance correlation coefficient, a novel measure of dependence for random vectors of arbitrary dimension, which has been introduced by Szekely, Rizzo and Bakirov and Szekely and Rizzo. In particular, we define an affinely invariant version of distance correlation and calculate this coefficient for numerous distributions: for the bivariate and the multivariate normal distribution, for the multivariate Laplace and for certain bivariate gamma and Poisson distributions. Moreover, we present a useful series representation of distance covariance for the class of Lancaster distributions and derive a generalization of an integral, which plays a fundamental role in the theory of distance correlation.

We further investigate a variable clustering problem, which arises in low rank Gaussian graphical models. In the case of fixed sample size, we discover that this problem is mathematically equivalent to the subspace clustering problem of data for independent subspaces. In the asymptotic setting, we derive an estimator, which consistently recovers the cluster structure in the case of noisy data.

Translation of abstract (German)

Die Untersuchung von Abhängigkeitsstrukturen spielt in der heutigen Statistik eine wichtige Rolle. Innerhalb der letzten Jahrzehnte wurden zahlreiche Abhängigkeitsmaße eingeführt, sowohl für univariate als auch für multivariate Zufallsvektoren. In dieser Thesis betrachten wir den Distanzkorrelationskoeffizienten, ein neues Abhängigkeitsmaß für Zufallsvariablen beliebiger Dimension, welches von Szekely, Rizzo und Bakirov und Szekely und Rizzo eingeführt wurde. Insbesondere definieren wir eine affin invariante Version der Distanzkorrelation und berechnen diesen Koeffizienten für zahlreiche Verteilungen: für die bivariate und die multivariate Normalverteilung, für die multivariate Laplaceverteilung und für bestimmte bivariate Gamma- und Poissonverteilungen. Darüber hinaus zeigen wir eine nützliche Reihenentwicklung der Distanzkovarianz für die Klasse der Lancasterverteilungen auf und leiten eine Verallgemeinerung eines Integrals her, welches in der Theorie der Distanzkorrelation eine fundamentale Rolle spielt.

Ferner untersuchen wir eine Problemstellung zum Clustern von Zufallsvariablen, welches in Gaußschen graphischen Modellen mit niederem Rang auftritt. Im Falle fester Stichprobengrößen stellen wir fest, dass dieses Problem mathematisch equivalent zum Problem des Clustern von Daten in unabhängige Unterräume ist. In der asymptotischen Situation leiten wir einen Schätzer her, welcher im Falle verrauschter Daten konsistent die Clusterstruktur erfasst.