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Statistical Inference for Discrete-Valued Stochastic Processes

Schweer, Sebastian

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Abstract

Statistical inference and hypothesis testing in the framework of several different models for discrete-valued stochastic processes is considered. In the case of integer-valued autoregressive (INAR) processes of the first order, underlying stochastic properties can be utilized to derive appropriate test statistics for certain scenarios. Three different tests are introduced, evaluating the deviation of empirical measures of dispersion, generalized autocovariance and skewness of the data set from the theoretical value using the explicitly calculated asymptotic distribution of the associated estimators. For each of these test statistics, simulation studies as well as real data applications are provided, showcasing the performance in small sample sizes.

In a more general setting, a different approach focusing on generating functions instead of moment-based estimators is pursued. The asymptotic characteristics of the resultant test statistic are derived for a very general class of Markovian models satisfying a drift condition. Furthermore, a nonparametric estimator of the stationary distribution is shown to obey a functional central limit theorem. After revealing the connections linking this approach with several methods of the preceding chapters, a simulation study highlights the strong performance of the tests in real data applications with a small number of observations.

As a further topic, one specific instance of a nonparametric estimator of the service time distribution of a discrete time GI/G/∞ queueing system is presented, where the given information is assumed to be limited to the counts of arriving and departing customers of the queue. It is shown that this so-called sequence of differences estimator obeys a functional central limit theorem on an appropriately chosen underlying sequence space. Finally, a moving block bootstrap method is proposed and the theoretical features of this approach are investigated.

Translation of abstract (German)

Im Rahmen verschiedener Modelle diskretwertiger stochastischer Prozesse werden statistische Methoden und Hypothesentests behandelt. Im Falle von ganzzahligen autoregressiven Prozessen erster Ordnung können zugrundeliegende stochastische Eigenschaften genutzt werden, um geeignete Teststatistiken für diverse Szenarien herzuleiten. Drei verschiedene Tests werden eingeführt, welche die Abweichungen von empirischen Schätzern der Dispersion, der verallgemeinerten Autokovarianz und der Schiefe von den jeweiligen theoretischen Werten mit Hilfe der explizit berechneten asymptotischen Verteilungen der Schätzer bewerten. Für diese Tests werden Simulationstudien und Anwendungen auf echte Daten beschrieben, die das Verhalten der Test im Rahmen von kleinen Datensätzen veranschaulichen.

In einem allgemeineren Zusammenhang wird ein weiterer Ansatz verfolgt, der sich auf Erzeugendenfunktionen der Zufallsvariablen stützt. Die asymptotischen Eigenschaften der resultierenden Teststatistik werden für eine sehr allgemeine Klasse Markovscher Modelle, die eine Drift Bedingung erfüllen, hergeleitet. Darüberhinaus wird für einen nichtparametrischen Schätzer der stationären Verteilung ein funktionaler Grenzwertsatz bewiesen. Nachdem Zusammenhänge zwischen diesem Ansatz und demjenigen der vorhergehenden Kapitel aufgezeigt werden, hebt eine Simulationsstudie die gute Leistung dieser Tests in Anwendungen mit kleinen Anzahlen von Beobachtungen hervor.

Ein weiteres Kapitel hat einen speziellen nichtparametrischen Schätzer der Bedienzeitverteilung eines zeitdiskreten GI/G/∞-Warteschlangenmodells zum Gegenstand, wobei angenommen wird, dass die verfügbaren Daten auf die Anzahlen der ankommenden und abgehenden Kunden pro Zeitabschnitt beschränkt sind. Es wird gezeigt, dass dieser sogenannte sequence-of-difference estimator einem funktionalen Grenzwertsatz auf einem geeignet gewählten zugrundeliegenden Folgenraum gehorcht. Eine moving block bootstrap Methode wird vorgeschlagen und die theoretischen Eigenschaften dieses Ansatzes genauer beleuchtet.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Dahlhaus, Prof. Dr. Rainer
Date of thesis defense: 26 June 2015
Date Deposited: 27 Jul 2015 07:45
Date: 2015
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
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