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Adaptive Finite Element Simulation of Coupled PDE/ODE Systems Modeling Intercellular Signaling

Gerecht, Daniel

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Abstract

Intercellular signaling is a defining property of multicellular organisms, yet the spatio-temporal dynamics remain poorly understood. The subject of this work is the design of an efficient numerical algorithm for simulations of intercellular signaling in multicellular 3D environments modeled by coupled systems of partial differential equations (PDE) and ordinary differential equations (ODE).

The PDE part of these systems consists of reaction-diffusion equations and describes the concentration distribution of diffusible messengers, e.g. cytokines. Intracellular dynamics are described by a small number of ODEs per cell. Thus, every single iteration of a commonly used decoupling scheme has similar computational costs than solving the coupled PDE/ODE system at once. We therefore develop an efficient multilevel preconditioner for the coupled system. The computational cost of both coupled and decoupled solution methods are investigated for model problems of different coupling strength.

To keep the computational costs of the 3D simulations moderate, we use methods for adaptive mesh refinement. We discretize the system by different time meshes for the PDE and the ODE part to reduce the number of computationally expensive PDE time steps. Reliable a posteriori error estimations for coupled PDE/ODE systems are derived by means of the ’Dual Weighted Residual’ (DWR) method. The discretization error is split into the contributions of the PDE and the ODE part. We compute local error indicators in space and time and set up an efficient adaptive mesh refinement method. The described methods are validated by numerical tests for several biologically motivated model problems.

We apply the developed numerical methods and simulate cytokine signaling between T cells in lymph nodes, which regulates the adaptive immune response in the human body. The numerical results show that, despite the high diffusivity of cytokines, highly localized cytokine concentrations with large gradients occur, which enables short-range cell-to-cell communication.

Translation of abstract (German)

Die Signalübertragung zwischen Zellen ist von entscheidender Bedeutung für mehrzellige Lebewesen, jedoch ist über die Dynamiken in Raum und Zeit nur wenig bekannt. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der Erstellung eines effizienten numerischen Algorithmus zur 3D-Simulation von interzellulärer Signalübertragung, die durch gekoppelte Gleichungssysteme von partiellen Differentialgleichungen (PDE) und gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) modelliert wird.

Der PDE-Teil dieser Systeme besteht aus Reaktions-Diffusionsgleichungen und beschreibt die Konzentrationsverteilung diffusibler Botenstoffe, z.B. Zytokine. Die intrazellulären Vorgänge werden durch wenige ODEs pro Zelle beschrieben. Die Berechnungskosten für ein gekoppeltes Verfahren für das gesamte PDE/ODE System sind daher ähnlich hoch, wie die Kosten für jede einzelne Iteration der gewöhnlich verwendeten entkoppelten Verfahren. Aus diesem Grund entwickeln wir einen effizienten Mehrgitter-Vorkonditionierer für das gekoppelte System. Die Effizienz sowohl gekoppelter als auch entkoppelter Lösungsverfahren wird für verschieden stark gekoppelte Modellprobleme untersucht.

Um die Berechnungskosten der 3D-Simulationen moderat zu halten, verwenden wir adaptive Gitterverfeinerungsstrategien. Wir diskretisieren die Gleichung mit unterschiedlichen Zeitgittern für den PDE- und den ODE-Teil, um die Anzahl der kostenintensiven PDE-Zeitschritte zu reduzieren. Auf Basis der dualgewichteten Residuenmethode (DWR) wird ein verlässlicher a posteriori Fehlerschätzer hergeleitet. Der Diskretisierungsfehler wird in die Beiträge des PDE- und ODE-Anteils aufgeteilt. Wir berechnen lokale Fehlerindikatoren in Raum und Zeit und verwenden diese für eine effiziente adaptive Gitterverfeinerungsstrategie. Die beschriebenen Methoden werden anhand einer Reihe biologisch motivierter Modellprobleme durch numerische Tests validiert.

Wir verwenden die entwickelten numerischen Methoden für die Simulation von Zytokinsignalen zwischen T-Zellen in Lymphknoten. Zytokinsignale regulieren die adaptive Immunantwort im menschlichen Körper. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass sich trotz hoher Diffusivität der Zytokine große Gradienten ausbilden, die eine zielgerichtete Kommunikation zwischen benachbarten Zellen ermöglichen.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Rannacher, Prof. Dr. Dr. h.c. Rolf
Date of thesis defense: 17 June 2015
Date Deposited: 30 Jul 2015 08:27
Date: 2015
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 500 Natural sciences and mathematics
510 Mathematics
Controlled Keywords: Numerische Mathematik, Finite-Elemente-Methode, Immunsystem
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