Deutsche Übersetzung des Titels: Asphärische Umgebungen auf arithmetischen Flächen

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Abstract

On arithmetic surfaces over local or global rings of integers this thesis examines whether a geometric point has a basis of étale neighborhoods which are aspherical with respect to a full class of finite groups c. In this thesis we will consider only classes of finite groups c such that the order of all groups in c is prime to the residue characteristics of the arithmetic surface in question. In the local case we construct a basis of aspherical neighborhoods for any geometric point of a normal (but not necessarily regular) arithmetic surface. In the global case the existence of such bases of neighborhoods is proven under additional regularity assumptions and a condition on the l-division points of the Jacobian of the generic fibre. Moreover, we assume in the global case case that c is the class of finite l-groups for a prime number l that is invertible on the arithmetic surface.

Übersetzung des Abstracts (Deutsch)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Existenz sphärischer étaler Umgebungsbasen auf arithmetischen Flächen. Genauer wird die asphärische Eigenschaft bezüglich einer vollen Klasse endlicher Gruppen c untersucht, wobei die Ordnung aller Gruppen in c teilerfremd zu den Restklassencharakteristiken der jeweiligen arithmetischen Fläche ist. Das Basisschema der hier behandelten arithmetischen Flächen ist dabei stets ein lokaler oder globaler Zahlring. Im lokalen Fall wird für alle normalen (aber nicht notwendigerweise regulären) arithmetischen Flächen eine asphärische Umgebungsbasis konstruiert. Für den globalen Fall sind zusätzliche Reguläritätsannahmen und eine Bedingung an die l-Teilungspunkte der Jacobischen der generischen Faser notwendig. Außerdem beschränkt sich die Untersuchung auf die Klasse c(l) der endlichen l-Gruppen für eine auf der arithmetischen Fläche invertierbare Primzahl l.