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Abstract

In this work, the compressible Navier-Stokes equations describing the dynamics of a dry atmosphere are derived. Based on a scale analysis for Low-Mach number flows, the Low-Mach approximation is derived from the compressible Navier-Stokes equations by neglecting the hydrodynamic part of pressure, which is small compared to the hydrostatic and thermodynamic parts, in the ideal gas law. Both models are discretised by finite elements in space and finite differences in time, where all common parameters of the discretisations are chosen identically in order to minimise influences on the discrete solutions due to differences in the respective discretisation. A solution strategy for both models based on an inexact Newton method is presented, where the linear solvers and preconditioners are adapted to the respective model. In case of the Low-Mach model, a preconditioning technique based on nested Schur complement iterations is proposed. A scenario of two interacting tropical cyclones is presented as benchmark problem in order to compare the solutions of the two models in terms of numerical as well as physical properties. The obtained numerical results show the scalability and robustness of the solution approach. For the considered scenario, the predicted tracks of the cyclones, which are computed by the Low-Mach model, show very good coincidence with those of the Compressible Navier-Stokes model at significantly smaller computational costs, such that the Low-Mach approximation can be regarded as valid in this case.

Translation of abstract (German)

In dieser Arbeit werden die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, welche die Dynamik in einer trockenen Atmosphäre beschreiben, hergeleitet. Basierend auf einer Skalenanalyse für Strömungen bei kleiner Mach-Zahl wird die Low-Mach-Approximation der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet, indem der hydrodynamische Anteil des Druckes, der im Vergleich zu den hydrostatischen und thermodynamischen Anteilen klein ist, im Gesetz für ideale Gase vernachlässigt wird. Beide Modelle werden mit Finiten Elementen im Raum und Finiten Differenzen in der Zeit diskretisiert, wobei alle gemeinsamen Diskretisierungsparameter identisch gewählt werden, um Einflüsse auf die diskreten Lösungen durch die jeweilige Diskretisierung zu minimieren. Für beide Modelle wird ein Lösungsansatz basierend auf einem inexakten Newton-Verfahren vorgestellt, wobei die linearen Löser und ihre Vorkonditionierer an das jeweilige Modell angepasst sind. Im Falle des Low-Mach-Modells wird eine Vorkonditionierungstechnik vorgeschlagen, die auf geschachtelten Schur-Komplementen basiert. Als Benchmark-Problem wird ein Szenario zweier interagierender tropischer Wirbelstürme beschrieben, anhand dessen die Lösungen der beiden Modelle hinsichtlich numerischer und physikalischer Aspekte verglichen werden. Die gewonnenen numerischen Ergebnisse zeigen die Skalierbarkeit und Robustheit des Lösungsansatzes. Für das betrachtete Szenario zeigen die vorhergesagten Sturmtrajektorien des Low-Mach-Modells eine sehr gute Übereinstimmung mit denen des kompressiblen Navier-Stokes-Modells, bei signifikant geringeren Kosten bezüglich der Rechenzeit, so dass die Low-Mach-Approximation für diesen Fall als gültig angesehen werden kann.