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Geometric Properties of Versal Deformation Rings and Universal Pseudodeformation Rings

Juschka, Ann-Kristin

German Title: Geometrische Eigenschaften von versellen Deformationsringen und universellen Pseudodeformationsringen

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Abstract

Consider the absolute Galois group $G_K$ of an extension $K$ of $\mathbb{Q}_p$ finite degree $d$, and a finite field $\mathbb{F}$ of prime characteristic $p$. Following Mazur [Maz89], we define the versal deformation ring $R_{\overline{\rho}}^\psi$ with fixed determinant of a Galois representation $\overline{\rho}: G_K\to GL_n(\mathbb{F})$. Then for $n=2$ and $p>3$ our first main result states that $R_{\overline{\rho}}^\psi$ is an integral domain so that the associated versal deformation space $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ is irreducible. For this, we use the explicit relations of $R_{\overline{\rho}}^\psi$ computed in [Boe00] and a commutative algebra criterion. We deduce from [Nak13] that for $n=2$ and any $K$ the benign crystalline points are Zariski dense in $\mathfrak{X}({\overline{\rho}})$. This is expected to be useful for the surjectivity of the $p$-adic local Langlands correspondence. Furthermore, for arbitrary $n$ and $p$ we show that the refined quadratic parts of the relations of $R_{\overline{\rho}}^\psi$ can be obtained cohomologically from a cup product and a Bockstein homomorphism if a certain lift of $\overline{\rho}$ exists. Following Chenevier [Che14], we construct the universal pseudodeformation ring $R_{\overline{D}}^{univ}$ of an $n$-dimensional pseudorepresentation $\overline{D}: \mathbb{F}[G_K]\to\mathbb{F}$. Motivated by the result [Che11] on the equidimensionality of the generic fiber of the universal pseudorepresentation ring in characteristic $0$, our second main result says that the special fiber $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ of $R_{\overline{D}}^{univ}$ is equidimensional of dimension $dn^2+1$ if $p>n$ or if $K$ does not contain a primitive $p^{th}$ root of unity $\zeta_p$. In the latter case, if either $n>2$ or $n=2$ and $d>1$ we prove that the regular locus of $\Spec\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ consists of certain irreducible pseudodeformations and that $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ satisfies Serre's condition $R_2$.

Translation of abstract (German)

Betrachte die absolute Galoisgrouppe $G_K$ einer Erweiterung $K$ von $\mathbb{Q}_p$ von endlichem Grad $d$ und einen endlichen Körper $\mathbb{F}$ von Primzahlcharacteristik $p$. Mazur [Maz89] folgend, definieren wir den versellen Deformationsring $R_{\overline{\rho}}^\psi$ mit fester Determinante einer Galoisdarstellung $\overline{\rho}: G_K\to GL_n(\mathbb{F})$. Dann sagt unser erstes Hauptresultat für $n=2$ und $p>3$ aus, dass $R_{\overline{\rho}}^\psi$ ein Integritätsring ist, sodass der dazugehörige verselle Deformationsraum $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ unzerlegbar ist. Dafür benutzen wir die expliziten Relationen von $R_{\overline{\rho}}^\psi$, die in [Boe00] berechnet wurden, und ein Kriterium aus der Kommutativen Algebra. Wir folgern aus [Nak13] für $n=2$ und beliebiges $K$, dass die benignen krystallinen Punkte Zariski-dicht in $\mathfrak{X}(\overline{\rho})$ sind. Dies ist voraussichtlich nützlich für die Surjektivität der $p$-adischen lokalen Langlands-Korrespondenz. Des Weiteren zeigen wir für beliebiges $n$ und $p$, dass die verfeinerten quadratischen Anteile der Relationen von $R_{\overline{\rho}}^\psi$ kohomologisch durch ein Cup-Produkt und einen Bockstein-Homomorphismus erhalten werden können -- falls ein geeigneter Lift von $\overline{\rho}$ existiert. Chenevier [Che14] folgend, konstruieren wir den universellen Pseudodeformationsring $R_{\overline{D}}^{univ}$ einer $n$-dimensionellen Pseudodarstellung $\overline{D}: \mathbb{F}[G_K]\to\mathbb{F}$. Motiviert durch das Resultat [Che11] über die Äquidimensionalität der generischen Faser des universellen Pseudodarstellungsrings in Characteristic $0$, zeigt unser zweites Hauptresultat, dass die spezielle Faser $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ von $R_{\overline{D}}^{univ}$ äquidimensional von Dimension $dn^2+1$ ist, falls $p>n$ oder falls~$K$ keine $p^{te}$ primitive Einheitswurzel $\zeta_p$ enthält. In letzterem Fall beweisen wir, falls entweder $n>2$ oder $n=2$ und $d>1$, dass der reguläre Lokus von $\Spec\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ aus bestimmten unzerlegbaren Pseudodeformationen besteht und dass $\overline{R}_{\overline{D}}^{univ}$ Serre's Bedingung $R_2$ erfüllt.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Böckle, Prof. Dr. Gebhard
Date of thesis defense: 30 April 2018
Date Deposited: 03 Jul 2018 07:26
Date: 2018
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
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