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Domains of discontinuity of Anosov representations in flag manifolds and oriented flag manifolds

Stecker, Florian

German Title: Diskontinuitätsbereiche von Anosovdarstellungen in Fahnenmannigfaltigkeiten und orientierten Fahnenmannigfaltigkeiten

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Abstract

An infinite discrete subgroup of a Lie group acts on its homogeneous spaces. If the action is proper on an open subset, we call this subset a domain of discontinuity. In this thesis we investigate criteria when this happens, for some groups and spaces.

In the first part, we consider the action of an Anosov subgroup Gamma in G of a semi-simple Lie group on the associated flag manifolds. It is known that domains of discontinuity can be constructed from combinatorial objects called balanced ideals. For Delta-Anosov groups, we prove that every maximal and every cocompact domain of discontinuity arises from this construction, up to a few exceptions in low rank. In particular, this shows that some flag manifolds admit no cocompact domain of discontinuity. Applied to Hitchin representations, we determine exactly those flag manifolds which admit cocompact domains of discontinuity and give the number of different domains in the case of Grassmannians.

In the second part, we extend the theory of balanced ideals to the action of Gamma in G on oriented flag manifolds. These are quotients G/P, where P is a subgroup lying between a parabolic subgroup and its identity component. Under the condition that the limit curve of Gamma lifts to some oriented flag manifold, we identify cocompact domains of discontinuity in oriented flag manifolds which we do not see in the unoriented setting. They even exist in some cases where in the unoriented flag manifold there are no cocompact domains at all. These include in particular domains in some oriented Grassmannians for Hitchin representations, which we also show to be nonempty.

As another application of the oriented setup, we give a new lower bound on the number of connected components of Delta-Anosov representations of a closed surface group into SL(n,R). We further use certain balanced ideals to construct a compactification of locally symmetric spaces arising from Anosov representations into Sp(2n,R). Finally, we discuss an approach to generalize the construction of domains of discontinuity to other homogeneous spaces.

Translation of abstract (German)

Eine unendliche diskrete Untergruppe einer Lie-Gruppe wirkt auf deren homogenen Räumen. Ist die Wirkung auf einer offenen Teilmenge eigentlich, dann nennen wir diese Teilmenge einen Diskontinuitätsbereich. In dieser Arbeit wollen wir für gewisse Gruppen und Räume Kriterien für die Existenz solcher Bereiche untersuchen.

Im ersten Teil betrachten wir die Wirkung einer Anosov-Untergruppe Gamma in G einer halbeinfachen Lie-Gruppe auf den zugeordneten Fahnenmannigfaltigkeiten. Es ist bekannt, dass Diskontinuitätsbereiche mithilfe von kombinatorischen Objekten, den ausgeglichenen Idealen, konstruiert werden können. Für Delta-Anosov-Gruppen beweisen wir, dass jeder maximale und jeder kokompakte Diskontinuitätsbereich aus dieser Konstruktion entsteht, bis auf ein paar Ausnahmen in niedrigem Rang. Insbesondere sehen wir, dass manche Fahnenmannigfaltigkeiten keine kokompakten Diskontinuitätsbereiche haben. Angewandt auf Hitchin-Darstellungen können wir exakt bestimmen, welche Fahnenmannigfaltigkeiten kokompakte Diskontinuitätsbereiche enthalten, und die Anzahl dieser Bereiche in den Grassmannschen Mannigfaltigkeiten bestimmen.

Im zweiten Teil erweitern wir die Theorie der ausgeglichenen Ideale auf die Wirkung von Gamma in G auf orientierten Fahnenmannigfaltigkeiten. Dies sind Quotienten G/P, wobei P eine Untergruppe ist, die zwischen einer Parabolischen und ihrer Identitätskomponente liegt. Unter der Bedingung, dass sich die Randkurve von Gamma auf eine orientierte Fahnenmannigfaltigkeit hochheben lässt, finden wir kokompakte Diskontinuitätsbereiche, die in der unorientierten Theorie nicht auftauchen. Diese existieren sogar in manchen Fällen, in denen es in der unorientierten Fahnenmannigfaltigkeit gar keine kokompakten Bereiche gibt. Insbesondere schließt dies Diskontinuitätsbereiche für Hitchin-Darstellungen in orientierten Grassmannschen ein, von denen wir auch zeigen, dass sie nicht leer sind.

Als eine weitere Anwendung des orientierten Aufbaus geben wir eine neue untere Schranke an die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von Delta-Anosov-Darstellungen von einer geschlossenen Flächengruppe in SL(n,R) an. Weiterhin benutzen wir bestimmte ausgeglichene Ideale zur Konstruktion einer Kompaktifizierung von lokalsymmetrischen Räumen, die von Anosov-Darstellungen in Sp(2n,R) stammen. Schließlich diskutieren wir noch einen Ansatz, um die Konstruktion von Diskontinuitätsbereichen auf andere homogene Räume zu erweitern.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Wienhard, Prof. Dr. Anna
Place of Publication: Heidelberg
Date of thesis defense: 18 July 2019
Date Deposited: 31 Jul 2019 16:06
Date: 2019
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
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