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Numerical Solution of Optimal Control Problems with Explicit and Implicit Switches

Meyer, Andreas

German Title: Numerische Lösung von Optimalsteuerungsproblemen mit Expliziten und Impliziten Schaltern

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Abstract

This dissertation deals with the efficient numerical solution of switched optimal control problems whose dynamics may coincidentally be affected by both explicit and implicit switches. A framework is being developed for this purpose, in which both problem classes are uniformly converted into a mixed–integer optimal control problem with combinatorial constraints. Recent research results relate this problem class to a continuous optimal control problem with vanishing constraints, which in turn represents a considerable subclass of an optimal control problem with equilibrium constraints. In this thesis, this connection forms the foundation for a numerical treatment. We employ numerical algorithms that are based on a direct collocation approach and require, in particular, a highly accurate determination of the switching structure of the original problem. Due to the fact that the switching structure is a priori unknown in general, our approach aims to identify it successively. During this process, a sequence of nonlinear programs, which are derived by applying discretization schemes to optimal control problems, is solved approximatively. After each iteration, the discretization grid is updated according to the currently estimated switching structure. Besides a precise determination of the switching structure, it is of central importance to estimate the global error that occurs when optimal control problems are solved numerically. Again, we focus on certain direct collocation discretization schemes and analyze error contributions of individual discretization intervals. For this purpose, we exploit a relationship between discrete adjoints and the Lagrange multipliers associated with those nonlinear programs that arise from the collocation transcription process. This relationship can be derived with the help of a functional analytic framework and by interrelating collocation methods and Petrov–Galerkin finite element methods. In analogy to the dual-weighted residual methodology for Galerkin methods, which is well–known in the partial differential equation community, we then derive goal–oriented global error estimators. Based on those error estimators, we present mesh refinement strategies that allow for an equilibration and an efficient reduction of the global error. In doing so we note that the grid adaption processes with respect to both switching structure detection and global error reduction get along with each other. This allows us to distill an iterative solution framework. Usually, individual state and control components have the same polynomial degree if they originate from a collocation discretization scheme. Due to the special role which some control components have in the proposed solution framework it is desirable to allow varying polynomial degrees. This results in implementation problems, which can be solved by means of clever structure exploitation techniques and a suitable permutation of variables and equations. The resulting algorithm was developed in parallel to this work and implemented in a software package. The presented methods are implemented and evaluated on the basis of several benchmark problems. Furthermore, their applicability and efficiency is demonstrated. With regard to a future embedding of the described methods in an online optimal control context and the associated real-time requirements, an extension of the well–known multi–level iteration schemes is proposed. This approach is based on the trapezoidal rule and, compared to a full evaluation of the involved Jacobians, it significantly reduces the computational costs in case of sparse data matrices.

Translation of abstract (German)

Diese Dissertation befasst sich mit der effizienten numerischen Lösung von mitunter gleichzeitig explizit und implizit geschalteten Optimalsteuerungsproblemen. Dazu wird ein Framework entwickelt, in welchem sich beide Problemklassen einheitlich in ein gemischt–ganzzahliges Optimalsteuerungsproblem mit kombinatorischen Nebenbedingungen überführen lassen. Aktuelle Forschungsergebnisse setzen diese Problemklasse in Beziehung zu einem kontinuierlichen Optimalsteuerungsproblem mit verschwindenden Nebenbedingungen, welches wiederum eine bedeutende Unterklasse eines Optimalsteuerungsproblems mit Gleichgewichtsnebenbedingungen darstellt. In der vorliegenden Arbeit bildet dieser Zusammenhang das Fundament für eine numerische Behandlung. Die verwendeten numerischen Ansätze fußen auf einem direkten Kollokationsansatz und erfordern insbesondere eine möglichst präzise Bestimmung der Schaltstruktur des Ausgangsproblems. Aufgrund der Tatsache, dass die Schaltstruktur im Allgemeinen a priori unbekannt ist, wird diese sukzessive bestimmt. Während dieses Prozesses wird eine Folge von nichtlinearen Programmen, welche von diskretisierten Optimalsteuerungsproblemen abgeleitet werden, approximativ gelöst. Dabei wird nach jeder Iteration das Diskretisierungsgitter gemäß der aktuell geschätzten Schaltstruktur adaptiert. Neben einer genauen Bestimmung der Schaltstruktur ist es von zentraler Bedeutung den globalen Fehler zu schätzen, der beim näherungsweisen Lösen von Optimalsteuerungsproblemen durch das Kollokationsverfahrens auf den einzelnen Diskretisierungsintervallen ensteht. Dazu werden diskrete Adjungierte benutzt, welche sich mit Hilfe der Lagrange–Multiplikatoren der nichtlinearen Programme extrahieren lassen. Zu diesem Zweck wird mit Hilfe eines funktional analytischen Frameworks die Brücke zwischen Kollokationsverfahren und Petrov–Galerkin Finite–Elemente Verfahren geschlagen. In Analogie zu der im Umfeld von partiellen Differentialgleichungen etablierten Methodik der dual–gewichteten Residuen für Galerkin–Verfahren werden im Anschluss zielorientierte globale Fehlerschätzer abgeleitet. Darauf aufbauend werden Strategien angegeben, die es erlauben die Diskretisierung im Hinblick auf eine möglichst effiziente Reduzierung des globalen Fehlers anzupassen. Dabei ist zu beachten, dass sich die Gitteranpassung bezüglich des globalen Fehlers mit der Adaptierung hinsichtlich der Schaltstruktur vereinbaren lässt und somit auf ein iteratives Lösungsframework führt. Üblicherweise besitzen einzelne Zustands- und Steuerungskomponenten den gleichen Polynomgrad, wenn sie von einer Kollokations–Diskretisierung stammen. Durch die spezielle Rolle, welche einigen Steuerungskomponenten in dem hier vorgeschlagenen Lösungsframework zukommt, ist es wünschenswert, variierende Polynomgrade zu erlauben. Damit ergeben sich hinsichtlich einer effizienten Implementierung Probleme, welche mittels geschickter Strukturausnutzung sowie einer passenden Permutation von Variablen und Gleichungen behoben werden können. Der resultierende Algorithmus wurde parallel zu dieser Arbeit angefertigt und in einer Software umgesetzt. Die vorgestellten Methoden werden implementiert und anhand von Benchmark–Problemen wird ihre Anwendbarkeit und Effektivität demonstriert. Im Hinblick auf eine zukünftige Einbettung der beschriebenen Verfahren in einen online Optimalsteuerungskontext und die damit verbunden Echtzeitanforderungen wird eine Erweitung der bekannten Multilevel–Iterationsschemata vorgeschlagen. Diese basiert auf der Trapezregel und reduziert den Rechenaufwand im Falle von dünnbesetzten Datenmatrizen gegenüber einer vollständigen Bestimmung erheblich.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Potschka, PD Dr. Andreas
Place of Publication: Heidelberg
Date of thesis defense: 16 January 2020
Date Deposited: 28 Jan 2020 10:56
Date: 2020
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 500 Natural sciences and mathematics
510 Mathematics
Controlled Keywords: Optimierung, Optimale Kontrolle, Kombinatorische Optimierung, Gemischt-ganzzahlige Optimierung, Nichtkonvexe Optimierung, Nichtlineare Optimierung, Nichtglatte Optimierung, Dynamische Optimierung, Numerisches Verfahren, Galerkin-Methode, Finite-Elemente-Methode, Fehlerabschätzung
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