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Boundary Distributions for GL3 over a Local Field and Symmetric Power Coefficients

Gräf, Peter Mathias

German Title: Rand-Distributionen für GL3 über einem lokalen Körper und Symmetrische-Potenz-Koeffizienten

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Abstract

In this thesis, we construct a residue map and a Poisson kernel between holomorphic discrete series representations on the Drinfeld period domain and harmonic cocycles with certain non-trivial coefficients on the Bruhat-Tits building for GL3 over a local field of any characteristic. In order to construct the Poisson kernel, we find a new locally analytic kernel function that can be integrated against general boundary distributions. Assuming the existence of certain boundary distributions attached to bounded harmonic cocycles, we prove that the Poisson kernel is a right inverse of the residue map for bounded harmonic cocycles. Moreover, we show that the existence of the needed boundary distributions follows from a non-criticality statement for a new class of automorphic forms. We prove a control theorem that implies this non-criticality statement for trivial coefficients. Finally, we apply our constructions to relate spaces of Drinfeld cusp forms for certain congruence subgroups of GL3 and spaces of harmonic cocycles extending work of Teitelbaum to GL3.

Translation of abstract (German)

In dieser Arbeit konstruieren wir eine Residuenabbildung und einen Poisson-Kern zwischen holomorphen diskreten Reihendarstellungen auf dem Drinfeldschen Periodenraum und harmonischen Kozykeln mit gewissen nicht-trivialen Koeffizienten auf dem Bruhat-Tits Gebäude für GL3 über einem lokalen Körper von beliebiger Charakteristik. Um den Poisson-Kern zu konstruieren, finden wir eine neue lokal analytische Kernfunktion, die gegen allgemeine Rand-Distributionen integriert werden kann. Unter Annahme der Existenz von gewissen Rand-Distributionen zu beschränkten harmonischen Kozykeln zeigen wir, dass der Poisson-Kern für beschränkte harmonische Kozykel rechts-invers zur Residuenabbildung ist. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Existenz der benötigten Rand-Distributionen aus einer Nicht-Kritikalitäts-Aussage für eine neue Klasse von automorphen Formen folgt. Wir beweisen ein Kontrolltheorem, welches die Nicht-Kritikalität für triviale Koeffizienten impliziert. Schließlich wenden wir unsere Konstruktionen an, um Beziehungen zwischen Räumen von Drindfeldschen Spitzenformen zu gewissen Kongruenzuntergruppen von GL3 und Räumen von harmonischen Kozykeln zu erhalten, was eine Arbeit von Teitelbaum auf GL3 verallgemeinert.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Böckle, Prof. Dr. Gebhard
Place of Publication: Heidelberg
Date of thesis defense: 18 December 2020
Date Deposited: 26 Jan 2021 14:30
Date: 2021
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Mathematics
Service facilities > Interdisciplinary Center for Scientific Computing
Subjects: 510 Mathematics
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