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Mehrgitterverfahren für die kompressiblen Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen mit besonderer Betrachtung des schwach kompressiblen Falles

Metzner, Michael

English Title: Multigrid methods for the weak compressible Euler and Navier-Stokes equations

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PDF, German
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Abstract

Für viele technische Probleme ist die Simulation kompressibler Strömungen kleiner Machzahl von Bedeutung. Typische Beispiele sind Detonationsprozesse und aeroakustische Phänomene. Zur Untersuchung der Schallemission einer Windturbine können die zugrunde liegenden schwach kompressiblen Strömungen mit einem geeigneten numerischen Werkzeug simuliert werden. Die Akustik hat einen direkten Einfluss auf die Strömung, sodass das Verfahren beide physikalische Phänomene gekoppelt behandeln muss. Bei der Entstehung von Schall in einer Strömung treten diese auf sehr unterschiedlichen Skalen auf. Für die Strömung sind in der Regel kleinskalige Strukturen dominant, dagegen spielen bei der akustischen Schallausbreitung große Distanzen und Wellenlängen eine dominierende Rolle. Charakterisierend für die Skalenunterschiede ist die Machzahl, die das Verhältnis der Strömungs- zur Schallausbreitungsgeschwindigkeit angibt. Bei aeroakustisch relevanten Simulationen treten Machzahlen bis etwa 1e-6 auf. Es bedarf somit eines numerischen Simulationswerkzeuges zur Lösung der kompressiblen Strömungsgleichungen, das sowohl bei kleinen als auch bei großen Machzahlen genau und effizient ist. Es gibt eine Vielzahl von Lösungen für das inkompressible Regime und ebenso viele grundlegend andere Ansätze für stark kompressible Strömungen. Inkompressible Lösungsverfahren werden in der Regel angewendet, wenn die Machzahl im zu untersuchenden Gebiet kleiner als etwa Ma=0.3 ist. Das physikalische Modell für inkompressible Strömungen berücksichtigt jedoch keine kompressiblen Effekte. Umgekehrt haben kompressible Standardmethoden große Schwierigkeiten bei der Lösung im schwach kompressiblen Regime. In dieser Arbeit wird ein neuartiges Diskretisierungsschema vorgestellt, das die Berechnung schwach kompressibler Strömungen zulässt, gleichzeitig aber auch in der Lage ist, Schocks und andere kompressible Effekte korrekt wiederzugeben. Zudem ist es möglich, sowohl reibungsfreie (Euler-Gleichungen) als auch reibungsbehaftete (Navier-Stokes-Gleichungen) Strömungen zu simulieren. Zur Simulation von schwach kompressiblen Strömungen wird der Mehrskalenansatz von Klein und Munz eingesetzt, der auf einer asymptotischen Analyse der Strömungsgleichungen basiert. Das mathematische Modell der Euler-Gleichungen ist ein System hyperbolischer nichtlinearer Gleichungen, die Gleichungen des inkompressiblen Grenzfalles sind jedoch vom hyperbolisch-elliptischen Typ. Ziel ist die Entwicklung eines einheitlichen Softwarecodes für die inkompressiblen, schwach kompressiblen und kompressiblen Gleichungen sowie für reibungsbehaftete und reibungslose Strömungen. Die Implementierung erfolgt dabei unter Verwendung des Softwaretools UG, das standardisierte Werkzeuge für numerische Verfahren basierend auf unstrukturierten Gittern in zwei und drei Raumdimensionen bereitstellt. Zudem unterstützt UG die Parallelisierung und die Verwendung von lokal adaptiv verfeinerten Gittern. Das aus der Diskretisierung entstehende Gleichungssystem wird mit einem linearen Mehrgitterverfahren gelöst. Obwohl ein Großteil der Konvergenztheorie nur bei Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen Gültigkeit hat, erweisen sich Mehrgitterverfahren in der Praxis für eine weitaus größere Klasse von Problemstellungen als effizient. Die ersten Mehrgitterverfahren zur Lösung der kompressiblen Euler-Gleichungen wurden von Jameson, Dick und Hemker vorgestellt. Während diese auf der Verwendung von Standard-Komponenten auf strukturierten Gittern basieren, führt Mulder zur Verbesserung der Glättungseigenschaft die Semicoarsening-Strategie ein, die von Oosterlee zu einem algebraischen Mehritterverfahren verfeinert wurde. Die erfolgreiche Anwendung von stromab numerierten unvollständigen Zerlegungen als robuste Glättungsverfahren auf unstrukturierten Gittern demonstriert Haag. Weitere Arbeiten auf unstrukturierten, adaptiv verfeinerten Gittern in drei Raumdimensionen haben vor allem Mavriplis und seine Arbeitsgruppe vorgelegt. Für den inkompressiblen Grenzfall sind die Arbeiten von Raw, Oosterlee und Turek zu nennen. Grundlegend für die vorliegende Arbeit sind die Untersuchungen von Rentz-Reichert zur Konstruktion geeigneter Glätter für die inkompressiblen Stokes- und Navier-Stokes-Gleichungen. In der Arbeitsgruppe von Wittum wurden Mehrgitterverfahren für inkompressible turbulente Strömungen analysiert, die bei Huurdeman auf k-e-Modellen und bei Nägele auf Large-Eddy-Simulationen basieren. Einen stark vereinfachten Ansatz für inkompressible Strömungen kleiner Machzahl verwendet Paxion zur Simulation laminarer Flammen. Für das schwach kompressible Regime liegen zwar eine Reihe unterschiedlicher Diskretisierungen vor, zur Lösung der resultierenden Systeme werden jedoch lediglich einfache Krylovraumverfahren wie CGS oder GMRES verwendet. Diese Lücke soll nun in der vorliegenden Arbeit geschlossen werden.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Wittum, Prof.Dr. Gabriel
Date of thesis defense: 25 November 2003
Date Deposited: 05 Feb 2004 12:21
Date: 2003
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Computer Science
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Mehrgitterverfahren, Navier-Stokes-Gleichung, Finite-Volumen-Methode, Numerische Strömungssimulation, Eulersche Bewegungsgleichungen
Uncontrolled Keywords: schwach kompressible Strömungenweak compressible flows
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