English Title: Numerical Techniques for High Dimensional Parabolic Equations with Applications in Option Pricing

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Abstract

Zunehmend an Bedeutung in einer Vielzahl von Anwendungsfeldern gewinnen hochdimensionale Aufgabenstellungen, oft in der Form von partiellen Differentialgleichungen. Kernpunkt dieser Arbeit sind Diskretisierungsverfahren speziell für diese Problemklasse, wobei en passent auch auf die untrennbar verbundenen Aspekte iterativer Gleichungslösung und speziell auch der Modellreduktion (hier in Form von asymptotischer Analysis zur Reduzierung der Dimension) eingegangen wird. Als Anwendungsbeispiel werden Optionspreisaufgaben in bis zu dreißig Dimensionen studiert, da viele Produkte am Markt durch die Anzahl der Faktoren direkt auf hochdimensionale (Un-)Gleichungen führen und außerdem die oft unabdingbare stochastische Modellierung von Marktdaten die Dimension weiter hochtreibt. Die Basis dazu bilden dünne Gitter. Mittels der Kombinationstechnik wird die Dünngitter-Lösung aus Finite-Differenzen-Lösungen auf einer Familie anisotroper kartesischer Gitter extrapoliert, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade entscheidend reduziert und der Algorithmus auf natürliche Weise parallelisiert werden kann. Aus einer geeigneten Fehlerdarstellung am kartesischen Gitter werden (Dünngitter-)Fehlerabschätzungen in einer geschlossenen Form für beliebige Dimensionen abgeleitet und ein zusätzlicher multivariater Extrapolationsschritt für eine höhere Konvergenzordnung motiviert. Dies erlaubt die numerische Differentiation mit hinreichender Genauigkeit. Optimale Komplexität des Gesamtalgorithmus sowie eine effiziente Lastverteilung werden durch robuste Mehrgitterverfahren mit Block-Glättern und angepassten Transferoperatoren an freien Rändern (bei Amerikanischen Optionen) erzielt. Am Beispiel von Basket-Optionen wird schließlich demonstriert, wie Probleme, deren Dimensionalität den mit dünnen Gittern behandelbaren Rahmen (ungefähr sechs) übersteigt, mittels Hauptkomponentenanalyse und asymptotischer Analysis durch Aufgaben drastisch reduzierter Dimension mit hoher Genauigkeit approximiert werden können.

Translation of abstract (English)

This thesis deals with the analysis and application of discretisation schemes tailored for high-dimensional parabolic equations, which are of increasing importance in a wide range of applications, and covers en passent the inevitably connected issues of iterative solvers and especially model reduction (here in the form of asymptotic analysis for the reduction of the dimension). These methods are applied to equations and variational inequalities (American options) from derivative pricing with up to thirty stochastic factors. The approach is based on sparse grids. For the combination technique closed form error estimates in arbitrary dimensions are derived from a suitable representation of the discretisation error on anisotropic Cartesian grids, which also motivates an additional multivariate extrapolation step for higher order convergence. This allows to estimate sensitivities with sufficient accuracy. Robust multigrid methods with block smoothing and adapted grid transfer at free boundaries ensure optimal complexity and efficient load balancing. Asymptotic formulae are derived for the Black-Scholes price of large basket options, where the direct numerical treatment on sparse grids is no longer feasible. In a more general context, the price is extrapolated with astonishing accuracy from two-dimensional numerical solutions.