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Vibrations in Nonlinear Rotordynamics - Modelling, Simulation, and Analysis

Rübel, Jan

German Title: Vibrationsphänomene in der nichtlinearen Rotordynamik - Modellierung, Simulation, Analysis

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Abstract

Mechanical vibrations of rotor-bearing systems are an ubiquitous problem in mechanical engineering and the prediction of response frequencies and amplitudes with the help of mathematical models is of major importance for the design of more efficient and reliable machinery. In the present work a model for the dynamics of fast rotating, elastic beams supported in hydrodynamic bearings is derived and its vibration behavior analyzed. Special focus is put on the influence of the nonlinear bearing reaction forces on the dynamics. The continuous rotor is modeled using Euler-Bernoulli beam theory under the inclusion of rotatory inertia and gyroscopic effects. For a general class of support functions the existence of weak solutions to the equations of motion is proved. The pressure distribution in the oil-lubricated simple journal bearings is modeled by the well known Reynolds’ equation. Its derivation from the Navier-Stokes equations by an asymptotic expansion in the film thickness is reviewed and new correction terms for fluid inertia effects are derived. Additional correction terms for the short bearing approximation to Reynolds’ equation are also derived by making additional assumptions on the bearings’ width-to-radius ratio. Furthermore, the pressure distribution and the bearing reaction forces are computed numerically in dependence of the position and the velocity of the rotor inside the bearings. The finite element method is applied to discretize the beam equation and the bearing forces are included into the model as point forces in the bearing nodes. While the classical lubrication theory leads to explicit equations of motion, the inertia corrections lead to implicit equations of motion for the rotor-bearing system. The model is evaluated by comparing numerical simulations with experimental results obtained for a passenger car turbocharger. For this example it is shown that the model equations describe the dynamics well, capturing most experimentally observed phenomena, such as unbalance oscillation and self-excited oil whirl. Some differences between model and experiment can be seen in the response frequency of the subharmonic oil whirl. The inertia corrections yield a small improvement compared to the classical models. A new phenomenological correction of the short bearing approximation based on the adaptation of the average circumferential lubricant velocity is proposed and shown to influence the whirl frequency ratio strongly. Continuation methods for periodic and quasiperiodic solutions are shown to be more efficient and are hence more appropriate tools for the examination of the vibration response behavior than direct numerical simulation. It is shown numerically, that the static gravity load can be neglected for higher rotational frequencies. Combined with a transformation to a co-rotating frame of coordinates this leads to a significant simplification, since the resulting ODE becomes autonomous, and the vibration response can be computed by the continuation of periodic orbits instead of invariant tori. This is applied successfully to study the parameter range where the inertia correction for the short bearing is valid. All in all, the presented model and its variations prove to be useful for future industrial application in the design of more efficient turbomachinery. Parts of the presented research are already actively used for turbocharger design by the Toyota Central Research and Development Laboratories.

Translation of abstract (German)

Mechanische Vibrationen von Rotor-Lager Systemen sind ein weit verbreitetes Problem und ihre Vorhersage mit Hilfe mathematischer Modelle ist von außerordentlicher Bedeutung für das Design effizienterer und zuverlässigerer Maschinen. In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell für die Dynamik rotierender, elastischer Balken in hydrodynamischen Lagern hergeleitet und sein Vibrationsverhalten untersucht. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Einfluss der nichtlinearen Lagerkräfte. Der kontinuierliche Balken wird mit Hilfe der Balkentheorie von Euler und Bernoulli unter Berücksichtigung der Rotationsträgheit und der Kreiselkräfte modelliert. Die Existenz schwacher Lösungen der Bewegungsgleichungen wird für eine allgemeine Klasse von Lagerfunktionen gezeigt. Die Druckverteilung in den ölgeschmierten Gleitlagern wird durch die Reynolds-Gleichung beschrieben. Die Herleitung dieser klassischen Gleichung aus den Navier-Stokes-Gleichungen durch asymptotische Entwicklung nach der Filmdicke wird erneut durchgeführt. Dabei werden neue Korrekturterme für Trägheitseffekte in der Schmierflüssigkeit durch Berücksichtigung höherer Ordnungen hergeleitet. Unter einer speziellen Annahme an das Verhältnis von Lagerbreite und -radius werden für die Näherungslösung zur Reynolds-Gleichung, die ein kurzes Lager annimmt, ebenfalls Korrekturterme berechnet. Weiterhin werden die Druckverteilung und die daraus resultierenden Lagerkräfte in Abhängigkeit von Rotorposition und Rotorgeschwindigkeit numerisch berechnet. Durch Anwendung der Methode der finiten Elemente wird die Rotorgleichung diskretisiert. Dabei werden die Lagerkräfte als Punktkräfte in den Lagerknoten modelliert. Während die klassischen Lubrikationsmodelle zu expliziten Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen führen, führt die Berücksichtigung der Korrekturterme zu impliziten Bewegungsgleichungen für das Rotor-Lager-System. Die numerische Evaluation des Modells erfolgt durch Vergleich mit experimentellen Daten, die an einem handelsüblichen Abgasturbolader gewonnen wurden. Am Beispiel des Turboladers wird gezeigt, dass die Modellgleichungen die Schwingungen des Rotors gut beschreiben und die wesentlichen Effekte, insbesondere die unwuchterregte Schwingung und die fluidinduzierte Instabilität (oil whirl), wiedergegeben werden. Die Verwendung der Trägheitskorrekturen führt zu einer leichten Verbesserung der Qualität der Vorhersage der Frequenz der Instabilität, bei der kleine Unterschiede zwischen Experiment und Simulation deutlich wurden. Desweiteren wird ein phänomenologisches Modell basierend auf der Adaption der durchschnittlichen Umlaufgeschwindigkeit der Schmierflüssigkeit eingeführt, durch welches die Frequenz der Instabilität stark beeinflusst werden kann. Kontinuationsmethoden für periodische und quasiperiodische Lösungen erweisen sich als effizienter und daher geeigneter für die Untersuchung des Frequenzverhaltens als die direkte numerische Simulation. Durch Anwendung dieser Methoden wird gezeigt, dass die statische Gewichtslast für große Rotationsfrequenzen vernachlässigt werden kann. In Verbindung mit einer Transformation in ein mitrotierendes Koordinatensystem führt dies zu einer beträchtlichen Vereinfachung des Systems, welches dadurch autonom wird. Durch diese Vereinfachung kann das Schwingungsverhalten durch die Berechnung periodischer Orbits statt invarianter Tori ermittelt werden. Dies wird bei der Untersuchung des Gültigkeitsbereiches der Trägheitskorrektur für das kurze Lager erfolgreich angewendet. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich das beschriebene Modell und seine Varianten als geeignet und nützlich für die zukünftige industrielle Anwendung in der Entwicklung effizienterer Turbomaschinen erweist. Einige Ergebnisse dieser Arbeit werden bereits bei den Toyota Central Research and Development Laboratories erfolgreich in der Turboladerentwicklung eingesetzt.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Jäger, Prof. Dr. Willi
Date of thesis defense: 2 July 2009
Date Deposited: 16 Oct 2009 09:42
Date: 2009
Faculties / Institutes: Service facilities > Interdisciplinary Center for Scientific Computing
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Rotordynamik, Mathematische Modellierung, Verzweigung <Mathematik>, Schwingung, Gleitlager, Hydrodynamisches Lager, Reynoldssche Gleichung
Uncontrolled Keywords: rotordynamics , vibrations , hydrodynamic bearing , bifurcation , finite element method
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