Deutsche Übersetzung des Titels: Analyse der Knochenremodellierung Eine Anwendung für die Zahnbewegung

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Abstract

Abstract This thesis investigates a mathematical model that tries to consider most processes involved in bone formation and bone resorption. It takes the solid bone matrix and the fluid phase as bone marrow into account as well as the influences of bone cell populations on the bone remodeling cycle. The role of parathyroid hormone and calcium homeostasis and the signaling pathways between bone cells are also studied. A complex mathematical model is derived which results in a free boundary problem as bone is constantly changing its shape and architecture. We find in the model on the macroscopic level equations for linear elasticity and Navier-Stokes equation. On the basic unit level we study equations for diffusion and transport, chemotaxis and partial differential equations for bone cell populations. The general complex model for bone remodeling is then simplified and applied to a chosen problem in orthodontics, the movement of a tooth through bone. Tooth movement caused by braces is a possible application of our general model. Here the equations of Biot for a porous medium, the periodontal ligament, are used and combined with a free boundary. We use the homogenized system and are able to derive effective equations for the displacement and pressure. We suggest for the analysis the Rothe method and prove in this thesis the existence of solutions for the Rothe iteration step. The full convergence proof for the free boundary problem is a problem for itself.

Übersetzung des Abstracts (Deutsch)

Zusammenfassung Diese Arbeit untersucht durch mathematische Modellierung die Prozesse die beim Knochenumbau eine Rolle spielen, wobei sowohl der solide Anteil der Knochenmatrix, als auch der flüssige Anteil des Knochenmarks berücksichtigt werden. Darüber hinaus werden auch die Einflüsse der Knochenzellenpopulationen näher unter die Lupe genommen. Auch die Rolle des Parathormons und des Kalziumhaushalts und die Signalwege zwischen den Knochenzellen werden untersucht. Daraus entsteht ein komplexes Modell mit einem freien Randwertproblem, da Knochen sich ständig verändert. Im makroskopischen Modell finden wir partielle Differentialgleichungen, die die lineare Elastiziät beschreiben, wie auch Navier- Stokes Gleichungen. Im mikroskopischen Modell erhalten wir Gleichungen für Diffusion, Transport und Chemotaxis, aber auch partielle Differentialgleichungen, die die Knochenzellenpopulationen beschreiben. Das allgemeine Modell wird dann vereinfacht und auf ein ausgewähltes Problem in der Kieferorthopädie angewendet, der Bewegung eines Zahnes durch den Knochen. Die Zahnbewegung ausgelöst durch eine Zahnspange ist eine mögliche Anwendung unseres allgemeinen Modells. Hier tauchen die Biot Gleichungen für ein poröses Medium auf, die auf das periodontale Ligament angewendet werden. Wir verwenden das homogenisierte System und erhalten effektive Gleichungen für die Verschiebung und den Druck. Wir benutzen dann die Rothe Methode zur Analyse des Problem und beweisen in dieser Arbeit die Existenz von Lösungen des Rothe Iterationsschrittes. Der volle Konvergenzbeweis des freien Randwertproblems ist ein Problem an sich, da sich das Gebiet ständig verändert.