German Title: Faltungsabbildungen und positive topologische Quantenfeldtheorien

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Abstract

The notion of positive TFT as coined by Banagl is specified by an axiomatic system based on Atiyah’s original axioms for TFTs. By virtue of a general framework that is based on the concept of Eilenberg completeness of semirings from computer science, a positive TFT can be produced rigorously via quantization of systems of fields and action functionals - a process inspired by Feynman’s path integral from classical quantum field theory.

The purpose of the present dissertation thesis is to investigate a new differential topological invariant for smooth manifolds that arises as the state sum of the fold map TFT, which has been constructed by Banagl as a example of a positive TFT. By eliminating an internal technical assumption on the fields of the fold map TFT, we are able to express the informational content of the state sum in terms of an extension problem for fold maps from cobordisms into the plane. Next, we use the general theory of generic smooth maps into the plane to improve known results about the structure of the state sum in arbitrary dimensions, and to determine it completely in dimension two. The aggregate invariant of a homotopy sphere, which is derived from the state sum, naturally leads us to define a filtration of the group of homotopy spheres in order to understand the role of indefinite fold lines beyond a theorem of Saeki. As an application, we show how Kervaire spheres can be characterized by indefinite fold lines in certain dimensions.

Translation of abstract (German)

Der von Banagl geprägte Begriff einer positiven TFT wird durch ein Axiomensystem festgelegt, dem Atiyahs ursprüngliche Axiome für TFTs zugrunde liegen. Vermöge eines allgemeinen Frameworks, das auf dem Konzept der Eilenberg-Vollständigkeit von Semiringen aus der Informatik aufbaut, kann eine positive TFT mathematisch streng durch Quantisierung von Systemen von Feldern und Wirkungsfunktionalen erzeugt werden - ein Prozess, der von Feynmans Pfadintegral aus der klassischen Quantenfeldtheorie inspiriert wird.

Das Ziel der vorliegenden Dotkorarbeit besteht darin, eine neue differentialtopologische Invariante glatter Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, die als Zustandssumme der Faltungsabbildungs-TFT, die von Banagl als Beispiel für eine positive TFT konstruiert wurde, auftritt. Durch Beseitigung einer internen technischen Annahme an die Felder der Faltungsabbildungs-TFT können wir den Informationsgehalt der Zustandssumme durch ein Ausdehnungsproblem für Faltungsabbildungen von Kobordismen in die Ebene ausdrücken. Anschließend verwenden wir die allgemeine Theorie von generischen glatten Abbildungen in die Ebene, um bestehende Resultate über das Aussehen der Zustandssumme in beliebiger Dimension zu verbessern, und um sie in Dimension 2 vollständig zu bestimmen. Die aus der Zustandssume abgeleitete Aggregatinvariante einer Homotopiesphäre führt uns in natürlicher Weise auf die Definition einer Filtration der Gruppe von Homotopiesphären, mittels der sich die Rolle von indefiniten Faltungslinien in Anknüpfung an ein Theorem von Saeki verstehen lässt. Als Anwendung zeigen wir, wie Kervaire-Sphären in gewissen Dimensionen durch indefinite Faltungslinien ausgezeichnet werden.