German Title: Rillen in der viskosen Teilschicht : Shape Design angewandt auf Mikrostrukturen

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Abstract

Previous research has established that a smooth surface has not necessarily minimal drag: Many experiments by different laboratories, e.g. NASA and DLR Berlin, indicate that an extra surface layer with tiny grooves aligned in the stream-wise direction can be used to reduce the drag. The aim of this project is to find the optimal shape of such microstructures on surfaces of submerged bodies. We assume that these microstructures remain in the viscous sublayer where the flow equations are the 3D incompressible, steady state Navier-Stokes equations with a Couette in- and outflow determinated through two boundary conditions, the no-slip condition on the lower boundary and the friction condition on the upper one. The objective function of our optimization problem is the tangential drag force, which we want to minimize. Solving this problem is difficult because of the rough boundary, which causes a big amount of data. We apply homogenization theory and replace the rough boundary by a smooth one, where the right boundary conditions have been determined. Furthermore, our optimization problem can be simplified using this approximation and we end up minimizing a scalar size, the Navier constant, which is calculated using the velocity of an auxiliary boundary layer equation. To solve the optimization problem we use sensitivity-based optimization methods. The sensitivity is calculated analytically and we use it to determine the gradient of the cost function with respect to the design variable. A minimum is sought by using the steepest descent algorithm with step size according to Armijo rule. The necessary optimality conditions are derived and a sequence of admissible domains is built which tends to the optimal solution. The state equations are solved numerically using finite elements on unstructured grids and multigrid algorithms. The results obtained with this approach give us a drag reduction of approximately 2-6% relative to the drag of the smooth configuration.

Translation of abstract (German)

Bisherige Forschung hat gezeigt, dass eine glatte Oberfläche eines in Flüssigkeit eingetauchten Körpers nicht die minimale Widerstandskraft haben muss: So kann eine hauchdünne Folie mit Rillen, die in Strömungsrichtung ausgerichtet sind, als widerstandsminimierende Oberfläche dienen. Dieser Ansatz resultierte aus den Forschungsergebnissen der NASA und der DLR Berlin. Das Ziel dieses Projekts besteht darin, die optimale Form der Mikrostrukturen auf der Oberfläche zu finden, so dass die Widerstandskraft minimal wird. Bei der Modellierung müssen wir uns darauf beschränken, dass die Rillen aus der viskosen Grenzschicht nicht herausragen. Die Strömungsgleichungen können dann durch die inkompressiblen stationären Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden. Als Ein- und Ausströmung ist eine Couette Strömung festgelegt, die am unteren Rand durch die Haft- und am oberen Rand durch die Reibungsbedingung gegeben ist. Das Zielfunktional unseres Optimierungsproblems ist die tangentiale Widerstandskraft. Die Lösung dieses Problems gestaltet sich schwierig, da der untere rauhe Rand eine Handhabung großer Datenmengen erfordert. Durch Anwendung von Homogenisierung können wir diesen rauen Rand durch einen glatten ersetzen, wobei die Informationen der Rauheiten durch andere Randbedingungen mitgegeben werden. Nach einer Reihe von Approximationen wird das ursprüngliche Optimierungsproblem so vereinfacht, dass die Zielfunktion durch eine skalare Größe, der Navier Konstanten, und die Nebenbedingungen durch die Grenzschichtgleichungen gegeben sind. Zur Lösung des Optimierungsproblems verwenden wir die auf Sensitivitäten basierenden Optimierungsmethoden. Die Sensitivitäten, die zur Bestimmung des Gradienten des Zielfunktionals bezüglich der Designvariablen dienen, werden analytisch bestimmt. Ein Minimum wird durch das Verfahren des steilsten Abstiegs mit regulierter Schrittweite nach der Armijo Regel gesucht. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen werden abgeleitet, und eine Minimalfolge zulässiger Gebiete gebildet. Die Nebenbedingungen, die durch die Grenzschichtgleichungen gegeben sind, werden nummerisch durch eine Finite-Elemente-Diskretisierung auf unstrukturierten Gittern mittels Mehrgitterverfahren gelöst. Die so erhaltenen Ergebnisse weisen eine Widerstandsminimierung zwischen 2 und 6% relativ zum Widerstand der glatten Oberfläche auf.