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Abstract

Classical models of pattern formation in systems of reaction-diffusion equations are based on diffusion-driven instability (DDI) of constant stationary solutions. The destabilisation may lead to emergence of stable, regular Turing patterns formed around the destabilised equilibrium. In this thesis it is shown that coupling reaction-diffusion equations with ordinary differential equations may lead to de-novo formation of far from equilibrium steady states. In particular, conditions for so called (ε0 , A)-stability (resp. stability in epi-graph-topology) are given, yielding from bistability and hysteresis effects in the null sets of nonlinearities. A model exhibiting coexistence of Turing-type destabilisation and stable far from equilibrium steady states, is proposed. It is shown, under suitable conditions, that DDI and (in)stability can be derived from so called quasi-stationary model reduction. Moreover, similar to a result for ordinary differential equations, proved by Tikhonov, the dynamical behaviour of the reduced and the unreduced model are similar. It is shown that the spectral properties of the operators resulting from linearisation of the unreduced system, determining the long-term behaviour around a steady state, are reflected in the spectral properties of the operators resulting from linearisation of the reduced system. The given conditions are satisfied by a larger range of classical models, as illustrated by application to a degenerate version of the Lengyel-Epstein model. The dynamical behaviour of reaction-diffusion equations for large diffusion and on finite time intervals is essentially reflected by their so called shadow systems. In this hesis, existence and stability of steady states with jump-type discontinuity is investigated and compared for this reduction. The results show that, in case of static patterns, not only the short-term behaviour, but also the long-term behaviour of the reduced system is reflected in the unreduced system. Moreover, a result showing Turing-type destabilisation for such shadow systems, given in a joint-paper, is generalised. Finally, such shadow systems are reduced by application of a quasi-stationary model reduction leading to a scalar integro-differential equation. It is shown that the quasi-stationary model reduction is regular in the sense of Turing-type destabilisation and dynamical behaviour on finite time intervals. Hence, reaction-diffusion-ODE models may be reduced to scalar integro-differential equations in order to investigate the qualitative behaviour around homogeneous steady states and the qualitative behaviour on finite time intervals. A hypothesis is that the long-term behaviour is similar, but a proof is missing. The result shows that a link between reaction-diffusion-ODE systems and scalar integro-differential equations exists and that the mechanisms of pattern formation may be investigated based on the reduction.

Translation of abstract (German)

Klassische mathematische Modelle zur Beschreibung von Musterbildungsprozessen basieren auf Turing Instabilität: ein örtlich homogener stationärer Zustand wird durch die zusätzliche Betrachtung von Diffusion destabilisiert. Diese Destabilisierung kann, unter entsprechenden Annahmen, zur Konvergenz gegen stationäre Zustände in der Nähe des Ursprungszustands (Turing Muster) führen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Kopplung von Reaktionsdiffusionsgleichungen mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen zu einer neuartigen de-novo Bildung von Mustern mit Sprung-Unstetigkeiten führen kann. Es werden Bedingungen für sogenannte (ε0 , A)-Stabilität (auch: Stabilität in der Epigraphtopologie) gezeigt. Die Stabilität basiert auf Bistabilität und hysteretischen Effekten in der Nullstellenmenge der Nichtlinearitäten. Es wird ein Modell vorgestellt, das beides, Turing Destabilisierung und Existenz von (ε0 , A)-stabilen stationären Lösungen, die sich nicht in der Nähe des Ursprungszustands befinden, aufweist. Des Weiteren wird gezeigt, dass es unter entsprechenden Voraussetzungen möglich ist, die Koexistenz von Turing Destabilisierung und Hysteresis auf Grundlage einer quasi-stationären Reduktion des Modells festzustellen. Ähnlich zur Tikhonov-Reduktion für gewöhnliche Differenzialgleichungen wird gezeigt, dass das dynamische Verhalten der Lösungen der Reaktionsdiffusionsgleichungen anhand des quasi-stationären Modells untersucht werden kann. Es wird gezeigt, dass die spektralen Eigenschaften, die das Langzeitverhalten um eine stationäre Lösung determinieren, ähnlich sind. Die in dieser Arbeit gezeigten Bedingungen für die Regularität in diesem Sinne werden von einer größeren Klasse von Gleichungen erfüllt, wie am Beispiel des Lengyel-Epstein Modells gezeigt wird. In dieser Arbeit werden Existenz und Stabilität von stationären Lösungen mit Sprung Unstetigkeiten für Shadowsysteme untersucht und mit Existenz und Stabiliät der ursprünglichen Systeme verglichen. Es zeigt sich, dass, im Falle stationärer Muster, nicht nur das Kurzzeitverhalten, sondern auch das Langzeitverhalten wiedergespiegelt wird. Des Weiteren wird ein Ergebnis aus einer gemeinsamen Veröffentlichung über Turing Destabilisierung in Shadowsystemen verallgemeinert. Zuletzt wird gezeigt, dass eine quasi-stationäre Reduktion auf Shadowsysteme angewendet werden kann. Diese Reduktion ist regulär im Sinne der Turing Destabilisierung und auf endlichen Zeitintervallen. Für die resultierende skalare Integro-Differenzialgleichung wird gezeigt, dass sie eine Turing Instabilität aufweist und es werden Ergebnisse über das dynamische Verhalten präsentiert. Zusammenfassend wird gezeigt, dass das qualitative Verhalten von Lösungen bestimmter Reaktionsdiffusionsgleichungen auf Grundlage einer Reduktion zu skalaren Integro-Differenzialgleichung untersucht werden kann.