Directly to content
  1. Publishing |
  2. Search |
  3. Browse |
  4. Recent items rss |
  5. Open Access |
  6. Jur. Issues |
  7. DeutschClear Cookie - decide language by browser settings

Direct Methods for PDE-Constrained Optimization Using Derivative-Extended POD Reduced-Order Models

Schmidt, Andreas

German Title: Direkte Methoden für PDE-beschränkte Optimierungsprobleme unter der Verwendung von ableitungserweiterten POD-ordnungsreduzierten Modellen

[img]
Preview
PDF, English
Download (2MB) | Lizenz: Print on Demand

Citation of documents: Please do not cite the URL that is displayed in your browser location input, instead use the DOI, URN or the persistent URL below, as we can guarantee their long-time accessibility.

Abstract

In this thesis we analyze and develop methods based on model order reduction (MOR) for the solution of optimization problems constrained by time-dependent partial differential equations (PDEs). The methods combine a direct solution approach with model reduction via proper orthogonal decomposition (POD) and the discrete empirical interpolation method (DEIM). The reduced-order models (ROMs) are used to approximate the high-dimensional dynamic systems originating from a spatial discretization of a PDE. However, when used in an optimization algorithm, conventional POD/DEIM ROMs often lack the ability to give adequate approximations of the gradient. We propose methods for a suitable enhancement of the ROMs for the optimization purpose which are based on the inclusion of derivative information in the POD and DEIM subspaces. We distinguish two types of error between quantities evaluated with the high-dimensional model and its ROM approximation in dependency on the optimization variable q: The reconstruction error which is evaluated with the same q0 which is used constructing the ROM and the prediction error which assesses approximations at q with a ROM constructed at q0 different to q. The novel reconstruction results we present include estimates for solutions of the adjoint equation and the sensitivity equations as well as for the gradient of the objective function. Based on the estimates we explain how the POD and DEIM bases should be extended with either adjoint or sensitivity information. The enhanced ROMs allow control of the reconstruction error for the objective and its gradient up to machine precision. Moreover, we propose a POD prediction estimate for the objective of the optimization problem in a neighborhood of q where the ROM is constructed. In case of sensitivity-extended POD and DEIM bases we give an analogous result for solutions of the states. The derivative-extended ROMs are then used to develop adaptive algorithms for the solution of optimal control and parameter estimation problems which results in great runtime improvements for the optimization while ensuring high approximation quality of the solution of the original problem. For the parameter estimation case a novel a posteriori error estimate is proposed which assesses the quality of suboptimal solutions obtained with the ROM. A further fundamental contribution is a discussion of discretize-then-optimize (DTO) vs. optimize-then-discretize (OTD) approaches in the context of MOR for optimization. We analyze advantages and disadvantages of both approaches and discuss to which extent our methods exhibit properties of either strategy. We also give examples of representative optimization problems in which standard POD/DEIM ROMs show an inacceptable behavior and can be successfully solved by derivative-extended ROMs. We have further implemented the developed methods emphasizing an efficient realization which is important for the investigation of the MOR potential. We showcase the practical performance of the proposed algorithms and the superiority of derivative-extended over conventional ROMs on two academic and one industry-relevant application which exhibit a variety of challenges for the model reduction approach in optimization.

Translation of abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit untersuchen und entwickeln wir Methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungsbeschränkungen (PDEs) basierend auf Strategien der Modell-Ordungs-Reduktion (MOR). Die Methoden kombinieren einen direkten Lösungsansatz mit der Modellreduktion durch die Proper orthogonal decomposition (POD) und die Discrete empirical interpolation method (DEIM). Ordungsreduzierte Modelle (ROMs) werden zur Approximation von hochdimensionalen dynamischen Systemen verwendet, welche aus einer Ortsdiskretisierung der partiellen Differentialgleichung resultieren. Bei der Verwendung dieser Modelle in einem Optimierungsalgorithmus taucht häufig das Problem auf, dass der Gradient nicht adäquat approximiert werden kann. Wir stellen Methoden zur Verbesserung des ROMs für den Einsatz in der Optimierung vor, die auf der Verwendung von Ableitungsinformationen im POD und DEIM Unterraum basieren. In Abhängigkeit der Optimierungsvariable unterscheiden wir zwischen zwei Arten von Fehlern in Größen, die einmal mit Hilfe des hochdimensionalen Modells berechnet und einmal mit Hilfe des ROM approximiert werden: Dem Rekonstruktionsfehler, welcher mit demselben q0 berechnet wird, welches auch zur Konstruktion des ROMs genutzt wird und dem Vorhersagefehler, der Aussagen über Approximationen macht, die an einer Stelle q ausgewertet werden, wobei das ROM an einer Stelle q0 ungleich q aufgestellt wird. Die neuen Ergebnisse für den Rekonstruktionsfehler umfassen Abschätzungen für die Lösungen der adjungierten Gleichung und der Sensitivitätengleichungen sowie für den Gradienten der Zielfunktion. Mit Hilfe dieser Abschätzungen erläutern wir, wie die POD und DEIM Basen mit entweder adjungierter oder Sensitivitätsinformation erweitert werden sollten. Die verbesserten ROMs erlauben ein Steuern des Rekonstruktionsfehlers für die Zielfunktion als auch des Gradienten bis zur Maschinengenauigkeit. Des Weiteren schlagen wir eine neue Abschätzung zur POD Vorhersage der Zielfunktion des Optimierungsproblems vor, welche Aussagen in einer Umgebung von q macht, mit welchem das ROM konstruiert wurde. Im Fall von POD und DEIM Basen die mit Sensitivitäten erweitert wurden erhalten wir ein analoges Resultat für Lösungen der Zustandsgleichung. Die durch Ableitungen erweiterten ROMs werden dann verwendet um adaptive Algorithmen zur Lösung von Optimalsteuerungs- und Parameterschätzproblemen zu entwickeln. Dies resultiert in enormen Laufzeitverbesserungen für die Optimierung, wobei gleichzeitig eine hohe Approximationsgüte der Lösung des ursprünglichen Problems gesichert wird. Für Parameterschätzprobleme stellen wir einen neuen a posteriori Fehlerschätzer vor, welcher Aussagen über die Qualität von suboptimalen Lösungen macht, die mit Hilfe des ROMs berechnet werden. Ein weiterer wesentlicher Beitrag ist eine Diskussion zum Verhältnis zwischen Diskretisieren-Dann-Optimieren (DTO) und Optimieren-Dann-Diskretisieren (OTD) im Kontext von auf MOR basierender Optimierung. Wir untersuchen Vorteile und Nachteile dieser beiden Ansätze und diskutieren, inwiefern unsere Methoden Eigenschaften von beiden aufweisen. Wir stellen zudem Beispiele repräsentativer Optimierungsprobleme vor, in welchen gewöhnliche POD/DEIM ROMs ein inakzeptables Verhalten zeigen, die jedoch mit ableitungserweiterten ROMs erfolgreich gelöst werden können. Des Weiteren wurden die entwickelten Methoden implementiert, wobei auf eine effiziente Realisierung Wert gelegt wurde, welche wichtig für die Untersuchung des Potentials von MOR ist. Wir demonstrieren das praktische Verhalten der vorgeschlagenen Algorithmen und die Uberlegenheit von ableitungserweiterten ROMs im Vergleich zu konventionellen ROMs an Beispielen von zwei akademischen und einer industrierelevanten Anwendung, welche verschiedene Herausforderungen an den Modellreduktionsansatz in der Optimierung stellen.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Bock, Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Hans Georg
Date of thesis defense: 26 November 2014
Date Deposited: 18 Dec 2014 09:45
Date: 2014
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Dean's Office of The Faculty of Mathematics and Computer Science
The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 500 Natural sciences and mathematics
Controlled Keywords: Optimierung, Partielle Differentialgleichungen, Modellreduktion
About | FAQ | Contact | Imprint |
OA-LogoDINI certificate 2013Logo der Open-Archives-Initiative