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Abstract

Determining conditions under which a given map is close to a homeomorphism has been an important problem in geometric topology. One of the major results related to the problem is the α-Approximation Theorem of Chapman and Ferry, which asserts that a small homotopy equivalence between manifolds is small homotopic to a homeomorphism. In this context, the smallness condition on a homotopy means that the size of the track covered by each point during the homotopy is small when measured by an open cover of the target space. In proving such a theorem, besides the original approach of ChapmanFerry which uses some results from topological surgery theory, there is another more geometric approach that is more suitable to establish a similar theorem for classes of spaces more general than manifolds. This second approach, due to Chapman himself, is to use controlled topological engulfing to prove a geometric result on approximate fibrations called the Sucking Principle. The α-Approximation Theorem then follows from an application of this principle together with the Cell-Like Approximation Theorem of Siebenmann. In this thesis, based on previous work of B. Hughes, we develop various tools that address the above approximation questions in a stratified setting of possibly singular spaces. In particular, we establish the Stratified Radial Engulfing Theorem, the Stratified Wrapping Up Theorem, the Stratified Handle Theorem, and the Stratified gamma-Sucking Theorem. As a consequence we obtain a Stratified Sucking Theorem with unstratified polyhedral target space.

Translation of abstract (German)

Die Bestimmung von Bedingungen, unter denen eine bestimmte Abbildung einem Homöomorphismus nahe kommt, ist ein wichtiges Problem der geometrischen Topologie. Eines der Hauptergebnisse in diesem Zusammenhang ist der α-Approximationssatz von Chapman und Ferry, der besagt, dass eine kleine Homotopieäquivalenz zwischen Mannigfaltigkeiten eine kleine Homotopie zu einem Homöomorphismus besitzt. Hierbei bedeutet die Kleinheitsbedingung an die Homotopie, dass die Spur, die von jedem Punkt während der Homotopie abgedeckt wird, in den Mengen einer offenen Überdeckung des Zielraums enthalten ist. Um den Satz zu beweisen, gibt es neben dem ursprünglichen Ansatz von ChapmanFerry, der einige Ergebnisse aus der topologischen Chirurgie Theorie verwendet, einen anderen geometrischeren Ansatz, der besser geeignet ist, die Erweiterung des Satzes für Klassen von Räumen zu beweisen, die allgemeiner als Mannigfaltigkeiten sind. Dieser zweite Ansatz, der Chapman selbst zu verdanken ist, besteht darin, ein kontrolliertes topologisches „Umfangen” zu verwenden, um ein geometrisches Ergebnis, genannt „Ansaugeprinzip” zu beweisen. Der α-Approximationssatz folgt dann aus einer Anwendung dieses Prinzips zusammen mit dem zellförmigen Approximationssatz von L. Siebenmann. In dieser Arbeit entwickeln wir, ausgehend von Ansätzen von B. Hughes, etliche Werkzeuge, die obige Approximationsfragen in einem stratifizierten Kontext möglicherweise singulärer Räume adressieren. Insbesondere etablieren wir den stratifizierten radialen Umfangungssatz, den Satz über stratifiziertes Aufrollen, den stratifizierten Henkelsatz, und den stratifizierten gamma-Ansaugesatz. Als Folgerung erhalten wir einen stratifizierten Ansaugesatz, in dem der Zielraum ein unstratifizierter Polyeder ist.