German Title: Die Horofunktions-Kompaktifizierung endlichdimensionaler Vektorräume und symmetrischer Räume

Preview

PDF, English Download (19MB) | Terms of use

Abstract

This work examines the horofunction compactification of finite-dimensional normed vector spaces with applications to the theory of symmetric spaces and toric varieties. For any proper metric space X the horofunction compactification can be defined as the closure of an embedding of the space into the space of continuous real valued functions vanishing at a given basepoint. A point in the boundary is called a horofunction. This characterization though lacks an explicit characterization of the boundary points. The first part of this thesis is concerned with such an explicit description of the horofunctions in the setting of finite-dimensional normed vector spaces. Here the compactification strongly depends on the shape of the unit and the dual unit ball of the norm. We restrict ourselves to cases where at least one of the following holds true: I) The unit and the dual unit ball are polyhedral. II) The unit and the dual unit ball have smooth boundaries. III) The metric space X is two-dimensional. Based on a result of Walsh we provide a criterion for the convergence of sequences in the horofunction compactification in these cases to determine the topology. Additionally we show that then the compactification is homeomorphic to the dual unit ball. Later we give an explicit example, where our criterion for convergence fails in the general case and make a conjecture about the rate of convergence of some spacial sets in the boundary of the dual unit ball. Assuming the conjecture holds, we generalize the convergence criterion to any norm with the property that all horofunctions in the boundary are limits of almost-geodesics (so-called Busemann points). This part of the thesis ends with a construction of how to extend our previous results to a new class of norms using Minkowski sums: IV) The dual unit ball is the Minkowski sum of a polyhedral and a smooth dual unit ball. The second part of the thesis applies the results of part one to two different settings: first to sym- metric spaces of non-compact type and then to projective toric varieties. For a symmetric space X = G/K of non-compact type with a G-invariant Finsler metric we prove that the horofunction compactification of X is determined by the horofunction compactification of a maximal flat in X. With this result we show how to realize any Satake or Martin compactification of X as an appropri- ate horofunction compactification. Finally, as an application to projective toric varieties, we give a geometric 1-1 correspondence between projective toric varieties of dimension n and horofunction compactifications of R^n with respect to rational polyhedral norms.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit befasst sich mit der Horofunktions-Kompaktifizierung endlichdimensionaler normierter Vektorräume und Anwendungen derselben auf symmetrische Räume und torische Varietäten. Die Horofunktions-Kompaktifizierung kann für jeden eigentlichen metrischen Raum X definiert werden als der Abschluss einer bestimmten Einbettung des Raumes in den Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf X, die an einem Basispunkt verschwinden. Die Punkte im Rand der Kompaktifizierung sind heißen Horofunktionen. Bei dieser Definition fehlt allerdings eine ex- plizite Beschreibung der Randpunkte. Im ersten Teil dieser Arbeit geht es um eine solche explizite Charakterisierung der Horofunktionen für endlichdimensionale Vektorräume. Hierbei hängt die Kompaktifizierung des Raumes stark von der Form des Einheits- und des dualen Einheitsballes der Norm ab. Wir beschränken uns dabei auf Bälle, die mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllen: I) Der Einheitsball und sein dualer Ball sind polyedrisch. II) Der Einheitsball und sein dualer Ball haben einen glatten Rand. III) Der metrische Raum ist zweidimensional. Ausgehend von einem Resultat von Walsh geben wir für diese Fälle ein Kriterium für die Konvergenz von Folgen in der Horofunktions-Kompaktifizierung an, um die Topologie zu bestim- men. Außerdem zeigen wir, dass in diesen Fällen die Kompaktifizierung homöomorph zum dualen Einheitsball ist. Anschließend betrachten wir ein explizites Beispiel das zeigt, dass das Konvergen- zkriterium im allgemeinen Fall nicht gilt und formulieren darauf aufbauend eine Vermutung über die Konvergenzrate spezieller Folgen im dualen Einheitsball. Unter der Voraussetzung, dass die Vermutung stimmt, verallgemeinern wir das Konvergenzkriterium für alle Normen, deren Horo- funktionen Limiten von Fastgeodäten sind (sogenannte Busemann Punkte). Zum Abschluss dieses Teils der Arbeit erweitern wir unsere bisherigen Resultate mit Hilfe der Minkowski-Summe um alle Normen, die die folgende Bedingung erfüllen: IV) Der duale Einheitsball ist die Minkowski-Summe eines polyedrischen und eines glatten Einheitsballs. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse des ersten Teils auf zwei Situationen angewendet, nämlich auf symmetrische Räume von nicht-kompaktem Typ und auf projektive torische Varietäten. Für einen symmetrischen Raum X = G/K von nicht-kompaktem Typ, der mit einer G- invarianten Finslermetrik ausgestattet ist, zeigen wir, dass die Horofunktions-Kompaktifizierung des Raumes bestimmt ist durch die Kompaktifizierung eines maximalen Flachs in X bestimmt ist. Damit zeigen wir, wie jede Satake- und Martin-Kompaktifizierung von X als Horofunktions- Kompaktifizierung bezüglich einer geeigneten Norm realisiert werden kann. Als Anwendung auf torische Varietäten geben wir schließlich eine geometrische Bijektion zwischen n-dimensionalen projektiven torischen Varietäten und der Horofunktions-Kompaktifizierung von R^n bezüglich einer polyedrischen Norm an.